Question

4．如圖所示，在水平軌道右側(cè)安放半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長度為L，水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長狀態(tài)．小物塊A（可視為質(zhì)點）從軌道右側(cè)以初速度v₀沖上軌道，通過圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經(jīng)水平軌道返回圓形軌道．已知R=0.2m，l=1.0m，v₀=2$\sqrt{3}$m/s，物塊A質(zhì)量為m=1kg，與PQ段間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，軌道其他部分摩擦不計，取g=10m/s²．求：

（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大�。�
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度．
（3）物塊A仍以v₀從軌道右側(cè)沖上軌道，調(diào)節(jié)PQ段的長度l，當l滿足什么條件時，物塊A能返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道．

Answer 1

分析 （1）物塊A從Q到P過程中，運用動能定理，結(jié)合摩擦力做功，從而求出物塊A與彈簧剛接觸時的速度大�。�
（2）根據(jù)運動學公式求得回到圓軌道的速度大小，再根據(jù)動能定理求出A能夠上升的高度，并討論能否達到此高度．
（3）A物塊能返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道，要么能夠越過圓軌道的最高點，要么在圓軌道中上升的高度不要超過圓軌道的半徑，結(jié)合動能定理和牛頓第二定律求出l所滿足的條件．

解答 解：（1）物塊A沖上圓形軌道后回到最低點速度為v₀=2$\sqrt{3}$m/s，
與彈簧接觸瞬間，-μmgl=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
可得，物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小v₁=2$\sqrt{2}$m/s；
（2）A被彈簧以原速率v1彈回，向右經(jīng)過PQ段，
有v₂²-v₁²=-2μgl；解得A速度 v₂=2m/s，
A滑上圓形軌道，有-mgh=0-$\frac{1}{2}$mv₂²，
（也可以應(yīng)用-μ×mgl-mgh=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²）
可得，返回到右邊軌道的高度為h=0.2m=R，符合實際．
（3）物塊A以v₀沖上軌道直到回到PQ段右側(cè)，
有v₁′²-v₀²=-2μg×2l，
可得，A回到右側(cè)速度：v₁′²=（12-8l）（m/s）²，
要使A能返回右側(cè)軌道且能沿軌道運動而不脫離軌道，則有：
①若A沿軌道上滑至最大高度h時，速度減為0，則h滿足：0＜h≤R，
根據(jù)機械能守恒：$\frac{1}{2}$mv₁′²=mgh聯(lián)立可得，1.0m≤l＜1.5m；
②若A能沿軌道上滑至最高點，則滿足：$\frac{1}{2}$mv₁′²=mg×2R+$\frac{1}{2}$mv₂′²且m$\frac{{v}_{2}^{′2}}{R}$≥mg，
聯(lián)立得 l≤0.25m，綜上所述，要使A物塊能第一次返回圓形軌道并沿軌道運動而不脫離軌道，
l滿足的條件是1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m；
答：（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小為2$\sqrt{2}$m/s．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度0.2m．
（3）A物塊能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道的條件是：1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m．

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律，以及知道小球不脫離圓軌道的條件，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強訓練．