Question

一質(zhì)量為M的平板小車，在光滑水平面上以速度v₀勻速前進(jìn)，如果在小車的前緣輕輕地放上一質(zhì)量為m的小木塊(不計放小木塊時對小車運動的影響)，如圖1所示。已知木塊與小車間的動摩擦因數(shù)為μ，那么為使小木塊不掉下車，小車的長度最短為多少?

圖1

Answer 1

分析與解答：

解法1：取地面為參照系，小木塊m做初速度為零的勻加速直線運動，平板車M做初速度為v₀的勻減速直線運動。

對m用牛頓第二定律得：

F_f=μmg=ma₁                                    ①

對M用牛頓第二定律得：

F′_f=Ma₂                                      ②

由牛頓第三定律得：F_f=-F′_f                    ③

設(shè)經(jīng)過t后，小木塊恰好滑到小車的后邊緣，此時木塊與車保持相對靜止，對地有共同的速度v,則：

v=a₁t=v₀+a₂t₂                                  ④

所以，小車的最短長度:

L=s₂-s₁

=(v₀t＋a₂t²)-a₁t²                          ⑤

由①—⑤得：

t=。

解法2：依題作出圖2，設(shè)m和M相互作用，經(jīng)歷的時間為t，二者具有共同的速度v，系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用動量守恒，則有：

圖2

Mv₀=(M+m)v                                ①

對小木塊m用動量定理：

μmgt=mv                                 ②

因m和M都作勻變速直線運動，對小木塊m有：

s₁=                                   ③

對小車有：

s₂=                             ④

則小車的最短長度為：

L=s₂-s₁==。

解法3：由解法2得到M和m的共同速度：

v=                            ①

對兩者在相互作用的過程用動能定理得：

對m有：

μmgs₁=mv²                          ②

對M有：

-μmgs₂=Mv²-                 ③

解①②③式，得到小車的最短的長度：

L=s₂-s₁=。

解法4：如選小車為參照系，則小木塊m相對于小車M的初速度為-v₀，末速度v′=0,作勻減速運動，相對于小車的加速度：

a_相=a₁-a₂=μg(1+)

因此在時間t內(nèi)，m在M上滑行的距離L=｜｜=v₀t=，也就是小車的最短長度。

解法5：小木塊m和小車M都作勻變速直線運動，依題意可作出它們的v-t圖象，如圖3所示。根據(jù)v-t圖象與坐標(biāo)軸所包圍的面積的物理意義可知，ΔOBv₀的面積大小即小車的最短長度，則有：

圖3

L=。

解法6：(整體法)選取小木塊和小車為一系統(tǒng)，兩者在相互作用過程中水平方向不受外力作用，動量守恒，則有：

Mv₀=(m+M)v                               ①

系統(tǒng)相互作用過程中，損失的機(jī)械能等于系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量。根據(jù)能量守恒定律得：

μmgL=-(M+m)v²                   ②

由①②解得，相對位移L，即小車的最短長度為：

L=。