Question

4．如圖所示，平行傾斜光滑導(dǎo)軌與足夠長(zhǎng)的平行水平光滑導(dǎo)軌平滑連接，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．質(zhì)量分別為m和$\frac{1}{2}$m的金屬棒b和c靜止放在水平導(dǎo)軌上，b、c兩棒均與導(dǎo)軌垂直．圖中de虛線以右有范圍足夠大、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．質(zhì)量為m的絕緣棒a垂直于傾斜導(dǎo)軌靜止釋放，釋放位置與水平導(dǎo)軌的高度差為h．已知絕緣棒a滑到水平導(dǎo)軌上與金屬棒b發(fā)生彈性正碰，金屬棒b進(jìn)入磁場(chǎng)后始終未與金屬棒c發(fā)生碰撞．重力加速度為g．
求：（1）絕緣棒a與金屬棒b發(fā)生彈性正碰后分離時(shí)兩棒的速度；
（2）兩金屬棒b、c上最終產(chǎn)生的總焦耳熱；
（3）求金屬棒b進(jìn)入磁場(chǎng)后，其加速度為其最大加速度的一半時(shí)的速度．

Answer 1

分析 （1）a棒沿著斜面下滑過(guò)程只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求出a棒滑到斜面底端時(shí)的速度；棒a與金屬棒b發(fā)生彈性正碰，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式，可求得分離時(shí)兩棒的速度；
（2）b棒獲得速度后向右做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電流，在安培力作用下，b棒做減速運(yùn)動(dòng)，c棒做加速運(yùn)動(dòng)，最終bc兩棒以相同的速度勻速運(yùn)動(dòng)，由于系統(tǒng)的合外力為零，遵守動(dòng)量守恒定律根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式求解共同速度，然后結(jié)合功能關(guān)系求解產(chǎn)生的總焦耳熱；
（3）b棒剛進(jìn)磁場(chǎng)的加速度最大．當(dāng)b棒加速度為最大值的一半時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和速度關(guān)系求解．

解答 解：（1）a棒沿著斜面下滑的過(guò)程機(jī)械能守恒，則有
 mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²．               
a棒與b棒發(fā)生彈性碰撞，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
   mv₀=mv₁+mv₂
根據(jù)機(jī)械能守恒有 $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
解出碰后a、b兩棒的速度分別為 v₁=0，v₂=v₀=$\sqrt{2gh}$    
（2）最終b、c以相同的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)共同速度為v．取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得
  mv₂=（m+$\frac{m}{2}$）v                                   
由能量守恒得 $\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}（m+\frac{m}{2}）{v}^{2}$+Q                           
解出 Q=$\frac{1}{3}$mgh                                      
（3）b棒剛進(jìn)磁場(chǎng)的加速度最大．由動(dòng)量守恒得 mv₂=mv₂′+$\frac{m}{2}$v₃′
根據(jù)F_安=BIL=B$\frac{E}{R}$L，知當(dāng)b棒加速度為最大值的一半時(shí)有    v₂=2（v₂′-v₃′）              
聯(lián)立得  v₂′=$\frac{5}{6}{v}_{2}$=$\frac{5}{6}\sqrt{2gh}$
答：
（1）絕緣棒a與金屬棒b發(fā)生彈性正碰后分離時(shí)兩棒的速度分別為0和$\sqrt{2gh}$；
（2）兩金屬棒b、c上最終產(chǎn)生的總焦耳熱是$\frac{1}{3}$mgh；
（3）金屬棒b進(jìn)入磁場(chǎng)后，其加速度為其最大加速度的一半時(shí)的速度是$\frac{5}{6}\sqrt{2gh}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是導(dǎo)軌問(wèn)題，關(guān)鍵是掌握動(dòng)量守恒的條件，判斷bc系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，結(jié)合動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律進(jìn)行研究．