Question

3．如圖，地面上有一固定的半圓形圓柱面，圓柱面的斜上方P處有一質點，過P點的豎直直線恰好與圓相切于Q點，已知半圓形圓柱面半徑為R=3m．PQ=2R=6m．現(xiàn)在確定一條從P到圓柱的光滑斜面軌道，使質點從靜止開始沿軌道滑行到圓柱面上所經歷的時間最短．求該斜面軌道與豎直方向的夾角θ，并計算最短時間t．（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）

Answer 1

分析 以P點為圓周的頂點，以一定長度r為半徑作一個與半圓柱相切的豎直圓周，從P點到切點建立一光滑斜面軌道，則質點沿該軌道到圓柱上所用時間最短，根據(jù)幾何關系求出半徑，牛頓第二定律求出下滑時的加速度，再根據(jù)運動學基本公式求出時間．

解答 解：以P點為圓周的頂點，以一定長度r為半徑作一個與半圓柱相切的豎直圓周，從P點到切點建立一光滑斜面軌道，則質點沿該軌道到圓柱上所用時間最短，由圖根據(jù)幾何關系得：
tanθ=$\frac{R}{2R-r}$
（R+r）²=R²+（2R-r）²
由以上兩式可解得：r=$\frac{2}{3}R=2m$，tanθ=0.75，則θ=37°，
質點從該軌道滑到圓周上的位移s=2rcosθ，下滑的加速度為a=gcosθ，
根據(jù)s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{4r}{g}}$
則最短時間${t}_{min}=\sqrt{\frac{4r}{g}}=\sqrt{\frac{8}{10}}=0.9s$
答：該斜面軌道與豎直方向的夾角為37°，最短時間t為0.9s．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律與運動學公式得綜合應用，考查了數(shù)學知識解決物理問題的能力，要明確沿什么路徑下滑時時間最短，難度適中．