Question

如圖，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B 兩者中心之間的距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側．引力常數為G。
(1)求兩星球做圓周運動的周期；
(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期記為T₁。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T₂。已知地球和月球的質量分別為5.98×10²⁴ kg和7.35×10²² kg。求T₂與T₁兩者平方之比．(結果保留3位小數)

Answer 1

解：(1)設兩個星球A和B做勻速圓周運動的軌道半徑分別為r和R，相互作用的引力大小為F，運行周期為T
根據萬有引力定律有F＝G ①
由勻速圓周運動的規(guī)律得F＝ ②    F＝ ③
由題意得L＝R＋r ④
聯立①②③④式得T＝2π ⑤
(2)在地月系統(tǒng)中，由于地月系統(tǒng)旋轉所圍繞的中心O不在地心，月球做圓周運動的周期可由⑤式得出T₁＝2π ⑥
式中，M′和m′分別是地球與月球的質量，L′是地心與月心之間的距離．若認為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運動，則 ⑦
式中，T₂為月球繞地心運動的周期．由⑦式得T₂＝2π ⑧  
由⑥⑧式得
代入題給數據得＝1.012