Question

3．一名宇航員抵達一半徑為R的星球表面后，為了測定該星球的質(zhì)量，做了如下實驗：將一個小球從距該星球表面高度h處自由釋放，測得小球從靜止落到該星球上的時間為t，已知萬有引力恒量為G，不計阻力，求：
（1）該星球的質(zhì)量M；
（2）若在該星球上發(fā)射一顆圍繞該星球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，則該衛(wèi)星運行的最小周期T為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運動規(guī)律求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)重力等于萬有引力求出星球的質(zhì)量；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求出星球的近地衛(wèi)星的周期即衛(wèi)星運行的最小周期

解答 解：（1）根據(jù)自由落體運動規(guī)律$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
得$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
在星球表面物體重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（2）在該星球表面發(fā)射一顆衛(wèi)星，軌道半徑等于該星球的半徑，周期最小
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{2}}}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}{t}_{\;}^{2}}{2h{R}_{\;}^{2}}}=2πt\sqrt{\frac{R}{2h}}$
答：（1）該星球的質(zhì)量M為$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$；
（2）若在該星球上發(fā)射一顆圍繞該星球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，則該衛(wèi)星運行的最小周期T為$2πt\sqrt{\frac{R}{2h}}$

點評 重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量．本題要求學生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運動其向心力由萬有引力提供