Question

8．如圖為過山車的模型圖，在模型圖中半徑為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個光滑圓形軌道，固定在傾角為α=37°斜軌道面上的Q、Z兩點(diǎn)，且兩圓形軌道的最高點(diǎn)A、B均與P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接，現(xiàn)使小車（視為質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動，已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{1}{24}$，取g=10m/s²，（sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）若小車恰好能過第一個圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)初速度為多大？
（2）若小車質(zhì)量為1000Kg，在P點(diǎn)的初速度為10m/s，則小車通過B點(diǎn)時對軌道的壓力多大？

Answer 1

分析 （1）抓住小球能過A點(diǎn)的臨界條件，根據(jù)動能定理求解小球在P點(diǎn)的初速度大�。�
（2）根據(jù)動能定理求得小車在B點(diǎn)的速度，再根據(jù)牛頓運(yùn)動定律求得小車對軌道的壓力大�。�

解答 解：（1）小車經(jīng)過A點(diǎn)時的臨界速度滿足：$mg=m\frac{v_1^2}{R_1}$
解得臨界速度${v}_{1}=\sqrt{g{R}_{1}}$       ①
由幾何關(guān)系，令PQ間距為L₁，則有：
${L_1}=\frac{{{R_1}（1+cosα）}}{sinα}$       ②
P到A對小車，同動能定理得：
$-（μmgcosα）{L_1}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_{10}^2$           ③
由①②③式解得：在P點(diǎn)的初速度大小v₁₀=$2\sqrt{6}m/s$
（2）Z點(diǎn)與P點(diǎn)高度差為h₂=0，PZ間距為L₂，則由幾何關(guān)系可得：
${L_2}=\frac{{{R_2}（1+cosα）}}{sinα}$       ④
P到Z對小車，同動能定理得：
$-（μmgcosα）{L_2}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_{20}^2$        ⑤
又$mg+T=m\frac{v_2^2}{R_2}$                ⑥
由④⑤⑥解得：$T=m\frac{v_2^2}{R_2}-mg=2000（N）$
由牛頓第三定律可得車對軌道壓力為T'=2000N，方向垂直軌道向上．
答：（1）若小車恰好能過第一個圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)初速度為$2\sqrt{6}m/s$；
（2）若小車質(zhì)量為1000Kg，在P點(diǎn)的初速度為10m/s，則小車通過B點(diǎn)時對軌道的壓力為2000N．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是抓住豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動在能通過最高點(diǎn)的臨界條件，并能根據(jù)幾何關(guān)系確定物體沿斜面下滑的距離．