Question

14．如圖所示為某藥廠自動生產流水線的部分裝置，藥片從漏斗口A經過光滑槽板到達傳送帶，若傳送帶和水平方向的夾角為α，漏斗口A到達傳送帶的豎直高度AB為h，若要使藥片滑到傳送帶上的時間最短，則滑槽和豎直方向的夾角β為$\frac{α}{2}$，滑槽的長度為$\frac{hcosα}{cos\frac{α}{2}}$．

Answer 1

分析 根據牛頓第二定律求出在斜面上運動的加速度大小，根據幾何關系表示出斜面的長度，再根據x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得到時間的表達式，由數學知識求解．

解答 解：設滑槽的長度為s．由正弦定理得：$\frac{s}{sin（90°-α）}$=$\frac{h}{sin[180°-β-（90°-α）]}$
解得：s=$\frac{hcosα}{cos（β-α）}$
加速度為：a=$\frac{mgcosβ}{m}$=gcosβ
由s=$\frac{1}{2}$at²得：t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}$=$\sqrt{\frac{2hcosα}{gcos（β-α）cosβ}}$
設y=gcos（β-α）cosβ，則y的導數為：y′=g[-sin（β-α）cosβ-cos（β-α）sinθ]=gsin（α-2β）
當y′=0時，即β=$\frac{α}{2}$時y有最大，t有最小值．此時有：
s=$\frac{hcosα}{cos\frac{α}{2}}$
故答案為：$\frac{α}{2}$，$\frac{hcosα}{cos\frac{α}{2}}$．

點評 解決本題的關鍵運用牛頓第二定律和運動學公式得到時間表達式，運用數學知識分析和求解．