Question

如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，x軸水平，y軸豎直，第一象限內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場；第二象限內(nèi)有一對平行于x軸放置的金屬板，板間有正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場方向沿y軸負(fù)方向，場強(qiáng)大小未知，磁場垂直坐標(biāo)平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B；第四象限內(nèi)有勻強(qiáng)電場，電場方向與x軸正方向成45°角斜向右上方，場強(qiáng)大小與平行金屬板間的場強(qiáng)大小相同．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為q的粒子以某一初速度進(jìn)入平行金屬板，并始終沿x軸正方向運(yùn)動，粒子進(jìn)入第一象限后，從x軸上的D點與x軸正方向成45°角進(jìn)入第四象限，M點為粒子第二次通過x軸的位置．已知OD距離為L，不計粒子重力．求：
（1）粒子運(yùn)動的初速度大小和勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大�。�
（2）DM間的距離．（結(jié)果用m、q、v₀、L和B表示）

Answer 1

（1）、粒子在板間受電場力和洛倫茲力做勻速直線運(yùn)動，設(shè)粒子初速度為v₀，由平衡條件有：
qv₀B=qE…①
粒子在第一象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，圓心為O₁，半徑為R，軌跡如圖，


由幾何關(guān)系知：R=

L

cos45°

=

2

L…②
由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動的向心力公式有：qv0B = m

v 20

R

…③
由②③式解得：v0=

2 qBL

m

…④
由①④式解得：E=

2 qB2L

m

…⑤
（2）、由題意可知，粒子從D進(jìn)入第四象限后做類平拋運(yùn)動，軌跡如圖，設(shè)粒子從D到M的運(yùn)動時間為t，將運(yùn)動分解在沿場強(qiáng)方向和垂直于場強(qiáng)的方向上，則粒子沿DG方向做勻速直線運(yùn)動的位移為：

.

DG

=v0t…⑥
粒子沿DF方向做勻加速直線運(yùn)動的位移為：

.

DF

=

1

2

at2=

Eqt2

2m

…⑦
由幾何關(guān)系可知：

.

DG

=

.

DF

，

.

DM

= 

2

 

.

DG

…⑧
由⑤⑥⑦⑧式可解得：

.

DM

=

2m2 v 20

q2B2L

答：（1）粒子運(yùn)動的初速度大小和勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為

2 qB2L

m

；
（2）DM間的距離

2m2 v 20

q2B2L

．