Question

20．為了進(jìn)一步提高回旋加速器的能量，科學(xué)家建造了“扇形聚焦回旋加速器”．在扇形聚焦過程中，離子能以不變的速率在閉合平衡軌道上周期性旋轉(zhuǎn)．扇形聚焦磁場分布的簡化圖如圖所示，圓心為O的圓形區(qū)域等分成六個(gè)扇形區(qū)域，其中三個(gè)為峰區(qū)，三個(gè)為谷區(qū)，峰區(qū)和谷區(qū)相間分布．峰區(qū)內(nèi)存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，谷區(qū)內(nèi)沒有磁場．質(zhì)量為m，電荷量為q的正離子，以不變的速率v旋轉(zhuǎn)，其閉合平衡軌道如圖中虛線所示．
（1）求閉合平衡軌道在峰區(qū)內(nèi)圓弧的半徑r，并判斷離子旋轉(zhuǎn)的方向是順時(shí)針還是逆時(shí)針；
（2）求軌道在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)圓弧的圓心角θ，及離子繞閉合平衡軌道旋轉(zhuǎn)的周期T；
（3）在谷區(qū)也施加垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′，新的閉合平衡軌道在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)的圓心角θ變?yōu)?0°，求B′和B的關(guān)系．已知：sin（α±β ）=sinαcosβ±cosαsinβ，cosα=1-2sin²$\frac{α}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式和左手定則求解
（2）離子在峰區(qū)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，在谷區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求出圓弧所對(duì)的圓心角，根據(jù)$t=\frac{s}{v}$求出離子繞閉合平衡軌道一周的時(shí)間，即離子繞閉合平衡軌道旋轉(zhuǎn)的周期T
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出谷區(qū)圓弧所對(duì)的圓心角，峰區(qū)和谷區(qū)圓弧的弦長相等，列出等式求出B′與B之間的關(guān)系；

解答 解：（1）峰區(qū)內(nèi)圓弧半徑$r=\frac{mv}{qB}$①
旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向②

（2）由對(duì)稱性，峰區(qū)內(nèi)圓弧的圓心角$θ=\frac{2π}{3}$③
每個(gè)圓弧的長度$l=\frac{2πr}{3}=\frac{2πmv}{3qB}$④
每段直線長度$L=2rcos\frac{π}{6}=\sqrt{3}r=\frac{\sqrt{3}mv}{qB}$⑤
周期$T=\frac{3（l+L）}{v}$⑥
代入得$T=\frac{（2π+3\sqrt{3}）m}{qB}$⑦
（3）

谷區(qū)內(nèi)的圓心角θ=120°-90°=30°⑧
谷區(qū)內(nèi)的軌道圓弧半徑$r′=\frac{mv}{qB}$⑨
由幾何關(guān)系$rsin\frac{θ}{2}=r′sin\frac{θ′}{2}$⑩
由三角關(guān)系$sin\frac{30°}{2}=sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$⑪
代入得$B′=\frac{\sqrt{3}-1}{2}B$⑫
答：（1）閉合平衡軌道在峰區(qū)內(nèi)圓弧的半徑r為$\frac{mv}{qB}$，離子旋轉(zhuǎn)的方向是逆時(shí)針；
（2）軌道在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)圓弧的圓心角θ是$\frac{2π}{3}$，及離子繞閉合平衡軌道旋轉(zhuǎn)的周期T為$\frac{（2π+3\sqrt{3}）m}{qB}$；
（3）在谷區(qū)也施加垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′，新的閉合平衡軌道在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)的圓心角θ變?yōu)?0°，B′和B的關(guān)系是$B′=\frac{\sqrt{3}-1}{2}B$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的綜合題，根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求出粒子在磁場區(qū)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑、粒子轉(zhuǎn)過的圓心角，是本題的難點(diǎn)．