Question

3．某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中．為計算方便起見，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v₀豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱�，在水平方向朝四周均勻散開．忽略空氣阻力．已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g．求：
（i）噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量；
（ii）玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度．

Answer 1

分析 （i）噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量m=ρV求解；
（ii）玩具在空中懸停時，受力平衡，水對玩具的沖擊力等于玩具的重力，根據(jù)運動學(xué)基本公式求得水上升到玩具處的速度，再根據(jù)動量定理列式求解即可．

解答 解：（i）噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量m=ρV=ρSv₀，
（ii）設(shè)水到達(dá)卡通玩具處的速度為v，玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度為h，
根據(jù)運動學(xué)基本公式得：${v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}=-2gh$，
水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱悖�以向上為正�?br />根據(jù)動量定理得：
-Mgt=ρSv₀t（0-v）
聯(lián)立解得：h=$\frac{{ρ}^{2}{S}^{2}{{v}_{0}}^{4}-{M}^{2}{g}^{2}}{2{ρ}^{2}{S}^{2}{{v}_{0}}^{2}g}$
答：（i）噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量為ρSv₀；
（ii）玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度為$\frac{{ρ}^{2}{S}^{2}{{v}_{0}}^{4}-{M}^{2}{g}^{2}}{2{ρ}^{2}{S}^{2}{{v}_{0}}^{2}g}$．

點評 本題主要考查了動量定理與運動學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，知道玩具在空中懸停時，受力平衡，合力為零，另外注意水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱悖�難度適中．