Question

17．一單匝圓形線圈與兩光滑的平行導(dǎo)軌按如圖所示連接，置于豎直平面內(nèi)，圓形線圈的電阻為R、直徑與平行導(dǎo)軌的寬度相等，均為l．圓形線圈和平行導(dǎo)軌區(qū)域存在方向如圖的磁場B₁、B₂．在t=0時刻，兩區(qū)域的磁場大小均為B₀，質(zhì)量為m、電阻也為R的金屬桿緊貼導(dǎo)軌放置，金屬桿與導(dǎo)軌等寬且位于勻強(qiáng)磁場B₂區(qū)域的上邊緣，設(shè)金屬桿始終保持與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，其它部分電阻忽略不計．
（1）從t=0開始，圓形線圈內(nèi)的磁場B₁的變化率$\frac{△{B}_{1}}{△t}$為多大，才能使金屬桿在導(dǎo)軌上保持靜止；
（2）在第一問的情況下，求兩導(dǎo)軌間的電壓大小；
（3）要使金屬桿在導(dǎo)軌上從t=0開始做自由落體運動，圓形線圈內(nèi)的磁場B₁隨時間t又怎樣變化，請推導(dǎo)B₁與t的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得到感應(yīng)電動勢與B₁的變化率$\frac{△{B}_{1}}{△t}$的關(guān)系．再根據(jù)金屬桿靜止時重力與安培力平衡，列式求解．
（2）由上題求出感應(yīng)電動勢的大小，由歐姆定律求兩導(dǎo)軌間的電壓大小．
（3）要使金屬桿在導(dǎo)軌上從t=0開始做自由落體運動，金屬桿所受的安培力應(yīng)為零，感應(yīng)電流為零，說明感生電動勢與動生電動勢完全抵消，據(jù)此列式求解．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得
線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢 E₁=S$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=π$（\frac{l}{2}）^{2}$$\frac{△{B}_{1}}{△t}$
金屬桿靜止時重力與安培力平衡，則有 mg=B₀Il=B₀$\frac{{E}_{1}}{2R}$l
聯(lián)立解得 $\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{8mgR}{π{B}_{0}{l}^{3}}$
（2）由上得 E₁=π$（\frac{l}{2}）^{2}$$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{2mgR}{{B}_{0}l}$
則兩導(dǎo)軌間的電壓大小 U=$\frac{R}{2R}{E}_{1}$=$\frac{mgR}{{B}_{0}l}$
（3）金屬桿在導(dǎo)軌上從t=0開始做自由落體運動，t時刻產(chǎn)生的動生電動勢為 E₂=B₀lgt
要使金屬桿在導(dǎo)軌上做自由落體運動，金屬桿所受的安培力應(yīng)為零，感應(yīng)電流為零，說明感生電動勢與動生電動勢完全抵消，則有 E₂=E₁；
可得 B₀lgt=π$（\frac{l}{2}）^{2}$$\frac{△{B}_{1}}{△t}$
解得 $\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{4{B}_{0}g}{πl(wèi)}$t
故B₁=B₀-$\frac{△{B}_{1}}{△t}$t=B₀-$\frac{4{B}_{0}g}{πl(wèi)}$t²．
答：
（1）從t=0開始，圓形線圈內(nèi)的磁場B₁的變化率$\frac{△{B}_{1}}{△t}$為$\frac{8mgR}{π{B}_{0}{l}^{3}}$，才能使金屬桿在導(dǎo)軌上保持靜止；
（2）兩導(dǎo)軌間的電壓大小為$\frac{mgR}{{B}_{0}l}$；
（3）B₁與t的關(guān)系式為B₁=B₀-$\frac{4{B}_{0}g}{πl(wèi)}$t²．

點評 本題是感生電動勢與動生電動勢共存的類型，關(guān)鍵要掌握法拉第電磁感應(yīng)定律，明確自由落體運動的條件．