Question

8．如圖所示，在xOy平面內半徑為R的圓O₁與y軸相切于坐標原點O，在該圓形區(qū)域內有與y軸平行的勻強電場和垂直于圓面的勻強磁場，一個帶正電的粒子從O點以一定的速度沿x軸進入場區(qū)．若場區(qū)內只存在勻強電場或勻強磁場時，該粒子恰好做勻速直線運動，穿過地區(qū)的時間為T₀；若電場、磁場都撤去，其他條件都不變，該粒子穿過場區(qū)的時間為$\frac{1}{2}$T₀．
（1）求電場強度與磁感應強度的比值．
（2）若電場、磁場都存在，其他條件都不變，求該粒子穿過場區(qū)的時間．
（3）若電場、磁場都存在，無數(shù)多個粒子以相同的速率向圓形場區(qū)平面內不同方向射出，其他條件都不變，用陰影表示出進入場區(qū)的粒子穿過場區(qū)時，在圓形場區(qū)內所能到達區(qū)域并求出其面積．（直接畫圖即可，不需要說明理由）

Answer 1

分析 （1）只有重力場和電場時，有qE=mg，只有重力場和磁場時，qvB=mg，即可求得E與B的比值．
（2）若電場、磁場都撤去，粒子做平拋運動，根據(jù)分位移公式列式．研究三種場同時存在時的情況，畫出軌跡，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何關系得到軌跡對應的圓心角，即可求得時間．
（3）畫出粒子運動的軌跡，由幾何知識求解即可．

解答 解：（1）設磁感應強度為B，電場強度為E，粒子速度為v，質量為m，電荷量為q．
只有重力場和電場時，有 qE=mg
只有重力場和磁場時，有qvB=mg
且vT₀=2R，得 $\frac{E}{B}$=$\frac{2R}{{T}_{0}}$
（2）電場、磁場都撤去后，粒子做平拋運動，則
  x=v$•\frac{{T}_{0}}{2}$，y=$\frac{1}{2}g（\frac{{T}_{0}}{2}）^{2}$
又粒子落在圓周上，可知 x=R，y=R
三場同時存在時，粒子做勻速圓周運動，其軌跡如圖1所示，設在場區(qū)中運動軌跡的圓心角為2α
由牛頓第二定律得 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 r=$\frac{R}{2}$
由幾何關系有 tanα=$\frac{R}{r}$=2
粒子在場區(qū)中運動的時間為 t=$\frac{2α}{2π}$T，T=$\frac{2πr}{v}$
解得粒子穿過場區(qū)的時間 t=$\frac{{T}_{0}}{2}$arctan2
（3）如圖2所示，粒子進入場區(qū)后做半徑為 r=$\frac{R}{2}$的勻速圓周運動，當粒子沿y軸負方向進入場區(qū)時，其運動軌跡為圓C，以原點O為圓心，R為半徑做圓，交圓形場區(qū)于D點（第一象限內），則曲線OEO₁DO所圍圖形的面積即為面積S．
根據(jù)幾何知識可得 S=$\frac{1}{2}π（\frac{R}{2}）^{2}$+2×$\frac{1}{6}π{R}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$=（$\frac{11}{24}$π-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）R²．
答：（1）電場強度與磁感應強度的比值為$\frac{2R}{{T}_{0}}$．
（2）若電場、磁場都存在，其他條件都不變，該粒子穿過場區(qū)的時間為$\frac{{T}_{0}}{2}$arctan2．
（3）進入場區(qū)的粒子穿過場區(qū)時，在圓形場區(qū)內所能到達區(qū)域為OEO₁DO，如圖，面積為（$\frac{11}{24}$π-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）R²．

點評 本題考查帶電粒子在電場、磁場中兩運動模型：勻速圓周運動與類平拋運動，及相關的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應用數(shù)學知識解決物理問題的能力．