Question

13．如圖所示，光滑水平面上靜止著一輛長度L=5m、質量M=1kg的平板車，車的左端放有一個質量m=1.95kg的小物塊，在車子右側足夠遠處有一固定的豎直的光滑半圓軌道，軌道半徑R=0.1m，軌道的底部與水平面相切且與車子上表面等高．現(xiàn)有一質量m₀=0.05kg的子彈以一定的向右的水平速度在極短的時間內射入小物塊且留在其中，經過一段時間，物塊運動到距平板車右端x=2m處時和車達到共速；隨后，車子與豎直軌道相撞并粘在了軌道上．已知小物塊沖上半圓軌道后到達最高點時對軌道的壓力大小為60N，g=10m/s²．
（1）求小物塊剛剛沖上半圓軌道時，對軌道底部的壓力大小；
（2）求小物塊與車之間的動摩擦因數(shù)；
（3）求子彈打入小物塊的短暫過程中，小物塊對子彈的沖量．

Answer 1

分析 （1）先由牛頓第二定律求出小物塊在最高點的速度，然后由機械能守恒求出小物塊剛剛沖上半圓軌道時的速度，最后由牛頓第二定律求出小物塊剛剛沖上半圓軌道時對軌道的壓力；
（2）小物塊在平板車上運動的過程中，車與小物塊、子彈組成的系統(tǒng)的動量守恒，由此求出它們的共同速度；結合功能關系求出損失的機械能的表達式；車子與豎直軌道相撞并粘在了軌道上后，小物塊在平板車上做勻減速直線運動，由運動學的公式求出損失的動能的表達式；聯(lián)立即可求出動摩擦因數(shù)；
（3）由上一步的公式求出子彈進入小物塊后二者的速度，由動量守恒定律求出子彈的初速度，然后由動量定理即可求出子彈打入小物塊的短暫過程中，小物塊對子彈的沖量．

解答 解：（1）小物塊與子彈組成的系統(tǒng)在最高點受到的重力與軌道的壓力提供向心力，小物塊在半圓軌道最高點時的速度為v₄，由牛頓第二定律得：
$F+（m+{m}_{0}）g=（m+{m}_{0}）•\frac{{v}_{4}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得小物塊在最高點的速度：v₄=2m/s，
設小物塊剛剛沖上半圓軌道時的速度為v₃，小物塊與子彈組成的系統(tǒng)沿半圓軌道向上運動的過程中機械能守恒，則：
$\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{3}^{2}$=$（m+{m}_{0}）g•2R+\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{3}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得小物塊剛剛沖上半圓軌道時的速度：${v}_{3}=2\sqrt{2}$m/s
小物塊剛剛沖上半圓軌道時對軌道的壓力：${F}_{N}=（m+{m}_{0}）g+（m+{m}_{0}）•\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：F_N=180N
（2）子彈進入小物塊后，與小物塊一起在平板車上做勻減速直線運動，在平板車上運動的過程中，車與小物塊、子彈組成的系統(tǒng)的動量守恒，設子彈的初速度為v₀，子彈進入小物塊后的共同速度為v₁，三者達到速度相等時的速度為v₂，
小物塊（與子彈一起）在平板車上運動的過程中，它們組成的系統(tǒng)的動量守恒，選取向右為正方向，則：
（m+m₀）v₁=（m+m₀+M）v₂
代入數(shù)據(jù)可得：${v}_{2}=\frac{2}{3}{v}_{1}$   ①
由功能關系可得：$-μ（m+{m}_{0}）g（L-2）=\frac{1}{2}（m+{m}_{0}+M）{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{1}^{2}$  ②
聯(lián)立①②，代入數(shù)據(jù)可得：$60μ=\frac{1}{3}{v}_{1}^{2}=\frac{3}{4}{v}_{2}^{2}$③
車子與豎直軌道相撞并粘在了軌道上后，小物塊在平板車上做勻減速直線運動，由動能定理公式得：
$-μ（m+{m}_{0}）g•x=\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{2}^{2}$  ④
將④式代入數(shù)據(jù)可得：$40μ={v}_{2}^{2}-{v}_{3}^{2}$   ⑤
聯(lián)立③⑤可得：v₁=6m/s，v₂=4m/s，μ=0.2
（3）子彈進入小物塊后二者的速度相等，該過程中二者組成的系統(tǒng)的動量守恒，由動量守恒定律得：
m₀v₀=（m+m₀）v₁
所以子彈的初速度：v₀=240m/s，
對子彈由動量定理得：I=m₀v₁-m₀v₀=0.05×（6-240）=-11.7kg•m/s．負號表示方向向左．
答：（1）小物塊剛剛沖上半圓軌道時，對軌道底部的壓力大小是180N；
（2）小物塊與車之間的動摩擦因數(shù)是0.2；
（3）子彈打入小物塊的短暫過程中，小物塊對子彈的沖量大小是11.7kg•m/s，方向向左．

點評 該題考查動量守恒定律以及功能關系的綜合應用，由于涉及的過程比較多，要求同學們能根據(jù)解題需要選擇不同的運動過程運用動量守恒定律、動能定理解題，同時要注意選取正方向．