Question

（2013?廣州三模）一絕緣“?”形桿由兩段相互平行的足夠長的水平直桿PQ、MN和一半徑為R的光滑半圓環(huán)MAP組成，固定在豎直平面內(nèi)，其中MN桿是光滑的，PQ桿是粗糙的，整個(gè)裝置處在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．在PM左側(cè)區(qū)域足夠大的范圍內(nèi)同時(shí)存在垂直豎直平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)將一質(zhì)量為m、帶正電電量為q的小環(huán)套在MN桿上，小環(huán)所受的電場(chǎng)力為重力的

1

2

．（已知重力加速度為g）
（1）若將小環(huán)由D點(diǎn)靜止釋放，則剛好能到達(dá)P點(diǎn)，求DM間的距離
（2）在滿足第一問的情況下，小環(huán)在A點(diǎn)對(duì)圓環(huán)的壓力
（3）若將小環(huán)由M點(diǎn)右側(cè)5R處靜止釋放，設(shè)小環(huán)與PQ桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，小環(huán)所受最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，求小環(huán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）小環(huán)從D至P過程中，根據(jù)動(dòng)能定理結(jié)合電場(chǎng)力與重力關(guān)系，即可求解；
（2）小環(huán)從D至A的過程，根據(jù)動(dòng)能定理；對(duì)小環(huán)在A點(diǎn)受力分析由牛頓第二定律及牛頓第三定律即可求解；
（3）根據(jù)速度為零分電場(chǎng)力小于等于最大靜摩擦力與大于最大靜摩擦力，由動(dòng)能定理分別求出過程中克服摩擦力所做的功．

解答：解：（1）設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，DM距離為L，對(duì)小環(huán)從D至P，由動(dòng)能定理：
EqL-mg?2R=0-0       ①
題意有Eq=

1

2

mg          ②
結(jié)合得  L=4R                  ③
（2）設(shè)小環(huán)在A點(diǎn)速度為v_A，對(duì)小環(huán)從D至A的過程，由動(dòng)能定理：
Eq?5R-mgR=

1

2

m

v

2 A

-0      ④
由小環(huán)在A點(diǎn)的受力分析及牛頓第二定律得：N-Eq-BqvA=

m v 2 A

R

 ⑤
由④⑤式可得N=

7

2

mg+Bq

3gR

，⑥
根據(jù)牛頓第三定律，小環(huán)在A點(diǎn)對(duì)圓環(huán)的壓力大小為N=

7

2

mg+Bq

3gR

，方向水平向左．
（3）小環(huán)首次到P點(diǎn)速度不為零，將向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度為零時(shí)，若滿足
（i）Eq≤f_m=μmg，即μ≥

1

2

，小環(huán)將保持靜止．設(shè)此時(shí)小環(huán)距P點(diǎn)水平距離為x，
則對(duì)全程由動(dòng)能定理：
Eq（5R-x）-mg?2R-μmgx=0-0   ⑦
則克服摩擦力做功Wf=μmgx=

μmgR

1+2μ

  ⑧
（ii） Eq＞f_m=μmg，即μ＜

1

2

，小環(huán)將來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最終會(huì)在P點(diǎn)的速度減為零．
則對(duì)全程由動(dòng)能定理：Eq?5R-mg?2R-W_f=0-0  ⑨
得克服摩擦力做功Wf=

1

2

mgR  
答：（1）若將小環(huán)由D點(diǎn)靜止釋放，則剛好能到達(dá)P點(diǎn)，求DM間的距離為4R；
（2）在滿足第一問的情況下，小環(huán)在A點(diǎn)對(duì)圓環(huán)的壓力大小為

7

2

mg+Bq

3gR

，方向水平向左；
（3）若將小環(huán)由M點(diǎn)右側(cè)5R處靜止釋放，當(dāng)電場(chǎng)力小于等于最大靜摩擦力時(shí)，小環(huán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功為

μmgR

1+2μ

；當(dāng)電場(chǎng)力大于最大靜摩擦力時(shí)，小環(huán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功為

1

2

mgR．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律、牛頓第三定律，及向心力表達(dá)式．強(qiáng)調(diào)動(dòng)能定理選取過程的重要性與做功的正負(fù)值．最后還注意克服摩擦力做功的分類性．