Question

3．如圖所示，xOy平面的第Ⅱ象限內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的a粒子從x軸上坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$l，0）的A點以速度v₀，沿與x軸正向成θ=60°的方向射入第Ⅱ象限，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，從y軸上的坐標(biāo)為（0，1）的P點垂直于y軸射入第I象限，y軸和垂直于x軸的虛線之間有沿-y軸方向的勻強(qiáng)電場，a粒子將從虛線與x軸交點Q進(jìn)入第Ⅳ象限，Q點橫坐標(biāo)x_Q=2$\sqrt{3}$l，虛線右側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與第Ⅱ象限勻強(qiáng)磁場相同（不計粒子的重力）．求：
（1）第Ⅱ象限勻強(qiáng)磁場的方向及磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；
（2）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度的大小E；
（3）如在a粒子剛進(jìn)入第Ⅱ象限的同時，有另一質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子，從y軸上的M點以速度v₀垂直于y軸射入電場，a、b粒子將發(fā)生迎面正碰，求M點縱坐標(biāo)y_M以及相碰點N的橫坐標(biāo)x_N和縱坐標(biāo)y_N．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律和圓周運動的規(guī)律求出軌跡半徑，畫出軌跡，即可求出B
（2）粒子進(jìn)入電場做類平拋運動，根據(jù)類平拋運動知識求解即可；
（3）根據(jù)幾何知識，結(jié)合軌跡，求解粒子在右側(cè)磁場區(qū)域相遇的位置

解答 解：（1）由左手定則可知，第Ⅱ象限勻強(qiáng)磁場的方向垂直紙面向外，設(shè)在第Ⅱ象限粒子勻速圓周運動的半徑為${r}_{1}^{\;}$，則：
$（{r}_{1}^{\;}-l）_{\;}^{2}+（\sqrt{3}l）_{\;}^{2}={r}_{1}^{2}$，
解得：${r}_{1}^{\;}=2l$
$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
解得$B=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{2ql}$
（2）粒子在電場中的加速度：$a=\frac{qE}{m}$
水平方向：$2\sqrt{3}l={v}_{0}^{\;}t$
豎直方向：$l=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
解得：$E=\frac{m{v}_{0}^{2}}{6ql}$
（3）b粒子與a粒子在電場中運動情況相同，只是向上偏轉(zhuǎn)，兩粒子在右側(cè)磁場中迎面相碰，b粒子應(yīng)在a粒子飛出右側(cè)磁場的位置飛入磁場，a粒子飛出電場速度為v，則：$qEl=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：$v=\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}^{\;}}{3}$
速度v與x軸正方向夾角為α，則$vcosα={v}_{0}^{\;}$，$cosα=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$α=\frac{π}{6}$
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{2}^{\;}}$
解得${r}_{2}^{\;}=\frac{4\sqrt{3}l}{3}$
設(shè)b粒子飛入磁場的縱坐標(biāo)為y，則$y=2{r}_{2}^{\;}cosα=4l$
所以M點縱坐標(biāo)${y}_{M}^{\;}=y-{y}_{P}^{\;}=3l$
a粒子在第Ⅱ象限磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角為$θ=\frac{π}{3}$，兩粒子在電場中運動時間相同，所以a粒子進(jìn)入磁場時，b粒子已轉(zhuǎn)過的圓心角為θ，a、b再各轉(zhuǎn)動$\frac{π}{2}$時相遇．則相碰點與圓心的連線與x軸正方向所成角為φ，由分析可知φ=$\frac{π}{6}$
相碰點N點的橫坐標(biāo)：${x}_{N}^{\;}={x}_{Q}^{\;}+{r}_{2}^{\;}（sinα+cosφ）=\frac{2（3+4\sqrt{3}）}{3}l$
相碰點N的縱坐標(biāo)：${y}_{N}^{\;}={r}_{2}^{\;}（cosα-sinφ）=\frac{2（3-\sqrt{3}）}{3}l$
答：（1）第Ⅱ象限勻強(qiáng)磁場的方向及磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B為$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{2ql}$；
（2）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度的大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6ql}$；
（3）如在a粒子剛進(jìn)入第Ⅱ象限的同時，有另一質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子，從y軸上的M點以速度v₀垂直于y軸射入電場，a、b粒子將發(fā)生迎面正碰，求M點縱坐標(biāo)${y}_{M}^{\;}$為3l以及相碰點N的橫坐標(biāo)${x}_{N}^{\;}$為$\frac{2（3+4\sqrt{3}）}{3}l$和縱坐標(biāo)${y}_{N}^{\;}$為$\frac{2（3-\sqrt{3}）}{3}l$．

點評 本題以帶電粒子在場中運動問題為命題背景考查學(xué)生的推理、分析和應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力．關(guān)鍵是分析清楚帶電粒子的物理情景．