Question

【題目】萬(wàn)有引力定律發(fā)現(xiàn)的歷史是物理學(xué)中一段波瀾壯闊的歷史，開(kāi)普勒、牛頓等科學(xué)家都貢獻(xiàn)了自己的智慧。開(kāi)普勒在第谷留下的浩繁的觀測(cè)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)的三大定律： ①所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；②對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積；③所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即：。牛頓是經(jīng)典物理學(xué)的集大成者，他利用數(shù)學(xué)工具和開(kāi)普勒定律發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律之時(shí)，雖未得到萬(wàn)有引力常量G的具體值，但在不停的思考中猜想到：拉住月球使它圍繞地球運(yùn)動(dòng)的力與使蘋果落地的力，是否都是地球的引力，并且都與太陽(yáng)和行星間的引力遵循統(tǒng)一的規(guī)律--平方反比規(guī)律？牛頓給出了著名的“月地檢驗(yàn)”方案：他認(rèn)為月球繞地球近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，首先從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度計(jì)算出了月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度an1；他又從動(dòng)力學(xué)的角度計(jì)算出了物體在月球軌道上的向心加速度an2。他認(rèn)為可以通過(guò)比較兩個(gè)加速度的計(jì)算結(jié)果是否一致驗(yàn)證遵循統(tǒng)一規(guī)律的猜想。

（1）牛頓對(duì)于萬(wàn)有引力定律的推導(dǎo)過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)而繁瑣，中學(xué)階段可以借鑒牛頓的思想（即從運(yùn)動(dòng)角度推理物體的受力）由簡(jiǎn)化的模型得到。若將行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)半徑為 r，行星質(zhì)量為 m ，太陽(yáng)質(zhì)量為 M，請(qǐng)你結(jié)合開(kāi)普勒定律、圓周運(yùn)動(dòng)、牛頓定律等知識(shí)，證明：太陽(yáng)與行星之間的引力與它們質(zhì)量的乘積成正比，它們距離平方成反比，即：。

（2）牛頓時(shí)代已知如下數(shù)據(jù)：月球繞地球運(yùn)行的周期T、地球半徑R、月球與地球間的距離60R、地球表面的重力加速度g。

a．請(qǐng)你分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度和動(dòng)力學(xué)的角度推導(dǎo)出“月地檢驗(yàn)”中的兩個(gè)加速度an1、an2的大小表達(dá)式；

b．已知月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期約為T=2.4×106s，地球半徑約為R=6.4×106m，計(jì)算時(shí)可取g≈π2 m/s2。結(jié)合題中的已知條件，求上述兩個(gè)加速度大小的比值an1/an2（保留兩位有效數(shù)字），并得出合理的結(jié)論。

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)a. b.

【解析】

（1）由牛頓第二定律可知，行星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于行星與恒星之間的引力：

①

根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知：

②

由①②可知

③

由對(duì)稱性，可知

④

根據(jù)牛頓第三定律可知，力的作用是相互的，可知

⑤

從而可知：

（2）a．月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：

解得：

質(zhì)量為m的物體在地面上受到的重力：

質(zhì)量為m的物體在月球軌道上受到的引力：

解得：

b．由以上結(jié)果得：

代入已知數(shù)值得：

由以上結(jié)果可以看出，在誤差范圍內(nèi)可認(rèn)為a1=a2，這說(shuō)明物體在地面上所受重力與地球吸引月球的力是同一性質(zhì)的力，遵循與距離的平方成反比的規(guī)律．