Question

8．如圖所示，兩電阻不計(jì)的足夠長(zhǎng)光滑平行金屬導(dǎo)軌與水平面夾角θ，導(dǎo)軌間距L，所在平面的正方形區(qū)域abcd內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直斜面向上．將甲乙兩個(gè)電阻相同、質(zhì)量均為m的相同金屬桿如圖放置在導(dǎo)軌上，甲金屬桿處在磁場(chǎng)的上邊界，甲乙相距L．從靜止釋放兩金屬桿的同時(shí)，在甲金屬桿上施加一個(gè)沿著導(dǎo)軌的外力F，使甲金屬桿始終沿導(dǎo)軌向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為gsinθ，乙金屬桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)作勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）求金屬桿乙剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．
（2）自剛釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)，寫出從開始到甲金屬桿離開磁場(chǎng)，外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系，并說明F的方向．
（3）若從開始釋放到乙金屬桿離開磁場(chǎng)，乙金屬桿中共產(chǎn)生熱量Q，試求此過程中外力F對(duì)甲做的功．

Answer 1

分析 （1）甲、乙勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度相同，當(dāng)乙通過位移l進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，甲剛出磁場(chǎng)，由動(dòng)能定理求出乙進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．
（2）乙金屬桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件求解電阻R；從剛釋放金屬桿時(shí)開始計(jì)時(shí)，由于甲的加速度大小a=gsinθ，外力與安培力大小相等，由速度公式得出速度與時(shí)間的關(guān)系式，根據(jù)安培力的表達(dá)式得出外力與時(shí)間的關(guān)系式．
（3）從開始釋放兩桿到乙金屬桿離開磁場(chǎng)，乙進(jìn)入磁場(chǎng)前，甲、乙發(fā)出相同熱量，導(dǎo)體棒克服安培力做功等于回路產(chǎn)生的熱量．甲出磁場(chǎng)以后，外力F為零，乙在磁場(chǎng)中，安培力大小等于重力沿斜面向下的分力，甲、乙發(fā)出相同熱量，根據(jù)功能關(guān)系得出回路產(chǎn)生的熱量，根據(jù)總熱量等于Q，求出外力做功．

解答 解：（1）由題，甲、乙勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度相同，所以，當(dāng)乙進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，甲剛出磁場(chǎng)，乙進(jìn)入磁場(chǎng)，根據(jù)動(dòng)能定理可得：
mglsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2glsinθ}$；
（2）根據(jù)平衡條件有$mgsinθ=\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$，
解得：R=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2glsinθ}}{2mgsinθ}$；
甲在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外力F始終等于安培力F=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$，
根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度時(shí)間關(guān)系可得：v=gsinθ•t
聯(lián)立解得：F=$\frac{m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{\sqrt{2glsinθ}}•t$，方向沿導(dǎo)軌向下；
（3）乙進(jìn)入磁場(chǎng)前，甲、乙發(fā)出相同熱量，設(shè)為Q₁，則有 F_安l=2Q₁
又F=F_安
故外力F對(duì)甲做的功W_F=Fl=2Q₁
甲出磁場(chǎng)以后，外力F為零，乙在磁場(chǎng)中，甲、乙發(fā)出相同熱量，設(shè)為Q₂，則有
F_安′l=2Q₂
又F_安′=mgsinθ
又Q=Q₁+Q₂
解得：W_F=2Q-mglsinθ．
答：（1）金屬桿乙剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為$\sqrt{2glsinθ}$．
（2）自剛釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)，寫出從開始到甲金屬桿離開磁場(chǎng)，外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系為F=$\frac{m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{\sqrt{2glsinθ}}•t$，方向沿導(dǎo)軌向下．
（3）若從開始釋放到乙金屬桿離開磁場(chǎng)，乙金屬桿中共產(chǎn)生熱量Q，則此過程中外力F對(duì)甲做的功為2Q-mglsinθ．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．