Question

6．質量均為m、電荷量均為q的粒子分別沿v₁和v₂的方向從磁場水平邊界MN的O點進入磁場．已知負粒子的初速度v₁=v₀，與邊界夾角α=30°，正粒子的初速度v₂=$\sqrt{3}$v₀，與邊界夾角β=60°．磁場區(qū)域為磁感應強度大小B，方向垂直紙面向里的勻強磁場．兩個粒子同時到達磁場邊界的A、B兩點．不計粒子之間的相互作用和重力．

（1）求兩粒子在磁場邊界上的穿出點A、B之間的距離d；
（2）求兩粒子進入磁場的時間間隔△t；
（3）若MN下方有平行于紙面的勻強電場，且兩粒子在電場中相遇，其中的粒子1做直線運動．求電場強度E的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）作出兩粒子的運動軌跡，由牛頓第二定律求出半徑，結合幾何知識求出d；
（2）根據公式t=$\frac{θ}{2π}$T求運動時間；
（3）由題意，電場強度的方向應與粒子1穿出磁場的方向平行，分為與粒子速度方向相同和相反兩種情況進行討論．

解答 解：（1）粒子在勻強磁場中作勻速圓周運動：

根據牛頓第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子1圓周運動的圓心角θ₁=$\frac{5π}{3}$，$\overline{OA}$=2r₁sinθ₁             
粒子2圓周運動的圓心角θ₂=$\frac{2π}{3}$，$\overline{OB}$=2r₂sinθ₂ 
故d=$\overline{OA}$+$\overline{OB}$=2r₁sin30°+2r₂sin60°=$\frac{4m{v}_{0}}{Bq}$
（2）粒子圓周運動的周期為：T=$\frac{2πr}{v}$ 
粒子1在勻強磁場中運動的時間為：t₁=$\frac{{θ}_{1}}{2π}$T
粒子2在勻強磁場中運動的時間為：t₂=$\frac{{θ}_{2}}{2π}$T
所以有：△t=t₁-t₂=$\frac{πm}{3qB}$                                   
（3）由題意，電場強度的方向應與粒子1穿出磁場的方向平行．
a．若電場強度的方向與MN成30°角斜向右上，則粒子1做勻加速直線運動，粒子2做類平拋運動．
Eq=ma                          
$\overline{AB}$cos30°=v₁t+$\frac{1}{2}$at²+$\frac{1}{2}$at²  
$\overline{AB}$sin30°=v₂t                 
解得：E=$\sqrt{3}$Bv₀             
b．若電場強度的方向與MN成30°角斜向左下，則粒子1做勻減速直線運動，粒子2做類平拋運動．
Eq=ma
$\overline{AB}$cos30°=v₁t-$\frac{1}{2}$at²-$\frac{1}{2}$at² 
$\overline{AB}$sin30°=v₂t
解得：E=-$\sqrt{3}$Bv₀，假設不成立．                         
綜上所述，電場強度的大小E=$\sqrt{3}$Bv₀，方向與MN成30°角斜向右上．  
答：（1）兩粒子在磁場邊界上的穿出點A、B之間的距離是$\frac{4m{v}_{0}}{Bq}$；
（2）兩粒子進入磁場的時間間隔是$\frac{πm}{3qB}$；
（3）若MN下方有平行于紙面的勻強電場，且兩粒子在電場中相遇，其中的粒子1做直線運動．電場強度E的大小E=$\sqrt{3}$Bv₀，方向與MN成30°角斜向右上．

點評 本題是常見的帶電粒子在磁場中和電場中運動的問題，畫出軌跡，運用幾何知識是處理帶電粒子在磁場中運動問題的基本方法．