Question

如圖所示的豎直平面內(nèi)有范圍足夠大、水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在虛線的左側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一絕緣?形管桿由兩段直桿和一半徑為R的半圓環(huán)組成，固定在紙面所在的豎直平面內(nèi)．PQ、MN水平且足夠長(zhǎng)，半圓環(huán)MAP在磁場(chǎng)邊界左側(cè)，P、M點(diǎn)在磁場(chǎng)界線上，NMAP段是光滑的，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為+q的小環(huán)套在MN桿，它所受到的電場(chǎng)力為重力的

1

2

倍．現(xiàn)在M右側(cè)D點(diǎn)靜止釋放小環(huán)，小環(huán)剛好能到達(dá)P點(diǎn)，
（1）求DM間的距離x₀．
（2）求上述過程中小環(huán)第一次通過與O等高的A點(diǎn)時(shí)彎桿對(duì)小環(huán)作用力的大�。�
（3）若小環(huán)與PQ間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（設(shè)最大靜止摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等）．現(xiàn)將小環(huán)移至M點(diǎn)右側(cè)6R處由靜止開始釋放，求小環(huán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）對(duì)D到P為研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出DM間的距離．
（2）對(duì)D到A為研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出A點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律，沿半徑方向上合力提供向心力，求出彎桿對(duì)小環(huán)作用力的大�。�
（3）需討論摩擦力的大小與電場(chǎng)力的大小關(guān)系，若摩擦力大于電場(chǎng)力，則運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)右側(cè)停止；若摩擦力小于電場(chǎng)力，則環(huán)最終在DP間往復(fù)運(yùn)動(dòng)．根據(jù)動(dòng)能定理求出摩擦力做的功．

解答：解：（1）由動(dòng)能定理qEx₀-2mgR=0
qE=

1

2

mg
∴x₀=4R
故DM間的距離為4R．
（2）設(shè)小環(huán)在A點(diǎn)速度v_A
由動(dòng)能定理qE（x₀+R）-mgR=

1

2

mv_A²
vA=

3gR

由向心力公式：N-qvAB-qE=m

v 2 A

R

N=

7

2

mg+qB

3gR

故彎桿對(duì)小環(huán)作用力的大小N=

7

2

mg+qB

3gR

．
（3）若μmg≥qE即μ≥

1

2

小環(huán)達(dá)P點(diǎn)右側(cè)S₁處靜止
qE（6R-S₁）-mg?2R-μmgS₁=0
S1=

2R

1+2μ

∴W=μmgS1=

2μmgR

1+2μ

若μmg＜qE即μ＜

1

2

，環(huán)經(jīng)過往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最后只能在PD之間運(yùn)動(dòng)，設(shè)克服摩擦力為W
則：qE?6R-mg?2R-W=0
∴W=mgR
故小環(huán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功為

2μmgR

1+2μ

或mgR．

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用動(dòng)能定理解題需合適地選取研究的過程，根據(jù)動(dòng)能定理列出表達(dá)式求解．