Question

14．西安地區(qū)的緯度在33.42度到34.45度之間，計(jì)算時(shí)用角度θ表示．已知地球半徑為R，重力加速度為g，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，光速為c，則地球同步衛(wèi)星發(fā)射的電磁波到達(dá)西安地區(qū)的最短時(shí)間為（　�。�

• A． $\frac{\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}g}{4{π}^{2}}}}{c}$
• B． $\frac{\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}g}{4{π}^{2}}}-R}{c}$
• C． $\frac{\sqrt{{r}^{2}+{R}^{2}+2Rrcosθ}}{c}$，其中r=$\root{3}{{\frac{{{R^2}{T^2}g}}{{4{π^2}}}}}$
• D． $\frac{\sqrt{{r}^{2}+{R}^{2}-2Rrcosθ}}{c}$，其中r=$\root{3}{{\frac{{{R^2}{T^2}g}}{{4{π^2}}}}}$

Answer 1

分析 在地球表面重力與萬(wàn)有引力相等，同步衛(wèi)星的周期和地球自轉(zhuǎn)周期相同，根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求衛(wèi)星的軌道半徑，再結(jié)合空間幾何關(guān)系求出位移，從而求出時(shí)間．

解答 解：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$；因?yàn)榈厍虮砻嫖矬w重力等于萬(wàn)有引力，即${m}_{\;}^{′}g=G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}$，
得：$GM=g{R}_{\;}^{2}$
聯(lián)立解得：$r=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
地球同步衛(wèi)星發(fā)射的電磁波到西安地區(qū)的最短路程為：
$S=\sqrt{{r}_{\;}^{2}+{R}_{\;}^{2}-2Rrcosθ}$
電磁波的傳播速度為c
故最短時(shí)間為：$t=\frac{S}{c}=\frac{\sqrt{{r}_{\;}^{2}+{R}_{\;}^{2}-2Rrcosθ}}{c}$；
其中$r=\root{3}{\frac{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}g}{4{π}_{\;}^{2}}}$，故D正確，ABD錯(cuò)誤．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，在地球表面重力與萬(wàn)有引力相等，抓住這兩點(diǎn)是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．本題運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解電磁波傳播的最短路程是一個(gè)難點(diǎn)．