Question

如圖所示，直線MN下方無磁場(chǎng)，上方空間存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其分界線是半徑為R的半圓，兩側(cè)的磁場(chǎng)方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，最終打到Q點(diǎn)，不計(jì)微粒的重力．求：
（1）微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，微粒的運(yùn)動(dòng)速度大小及運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）若向里磁場(chǎng)是有界的，分布在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間的區(qū)域，上述微粒仍從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，且微粒仍能到達(dá)Q點(diǎn)，求其速度的最大值．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中只受洛倫茲力，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出周期．
（2）根據(jù)題意作出粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，由牛頓第二定律與數(shù)學(xué)知識(shí)分析答題．
（3）由幾何知識(shí)分析軌跡半徑的最大值，由半徑公式求出速度的最大值．

解答：解：（1）由qvB=m

v2

r

及T=

2πr

v

得：
微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期  T=

2πm

qB

．
（2）令n表示帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的圓心個(gè)數(shù)，則
由幾何關(guān)系可知，微粒運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r應(yīng)滿足：r=Rtan

π

2n

，（n=2，3，4，5，…），
結(jié)合（1）可知，v=

qBr

m

=

qB

m

Rtan

π

2n

，（n=2，3，4，5，…）；
相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角φ滿足：
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，φ=（2π-

n-1

n

π）?

n

2

+

n-1

n

π?

n

2

=nπ；（n=2，4，6，8，…）
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，φ=（2π-

n-1

n

π）?

n+1

2

+

n-1

n

π?

n-1

2

=

n2+1

n

π；（n=3，5，7，9，…）
對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t滿足：
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，t=

n

2

T=

nπm

qB

，（n=2，4，6，8，…）；
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，t=

n2+1

n

?

T

2

=

(n2+1)πm

nqB

；（n=3，5，7，9，…）
（3）由幾何關(guān)系可知，r_n+

rn

sin π 2n

≤2R，（n=2，3，4，5，…）；
得：當(dāng)n=3時(shí)，r可取滿足條件的最大值，r_max=

3

3

R，
相應(yīng)的粒子速度v_max=

3 qBR

3m

．
相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．

答：
（1）微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為

2πm

qB

；
（2）從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，微粒的運(yùn)動(dòng)速度大小為

qB

m

Rtan

π

2n

，（n=2，3，4，5，…）；對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，t=

n

2

T=

nπm

qB

，（n=2，4，6，8，…）；②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，t=

n2+1

n

?

T

2

=

(n2+1)πm

nqB

；（n=3，5，7，9，…）
（3）速度的最大值是

3 qBR

3m

．

點(diǎn)評(píng)：此題對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的特殊性研究到一般性探究，這是分析問題的一種方法．同時(shí)要利用圓的特性與物理規(guī)律相結(jié)合．本題是一道難題，根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題解題的難點(diǎn)，也是正確解題的關(guān)鍵．