Question

11．如圖所示，有一個可視為質點的質量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺上的A點以v₀=3m/s的初速度水平拋出，到達C點時，恰好沿C點的切線方向進入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點的質量為M=3kg的長木板．已知木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑接觸，小物塊與長木板間的動摩擦因數μ=0.3，圓弧軌道的半徑為R=0.5m，C點和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=53°，不計空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A、C兩點的高度差；
（2）小物塊到達圓弧軌道末端D點時速度為v_D=$\sqrt{29}$ m/s，此時小物塊對軌道的壓力；
（3）小物塊到達圓弧軌道末端D點時速度為v_D=$\sqrt{29}$ m/s，要使小物塊不滑出長木板，木板的最小長度是多少？（sin 53°=0.8，cos 53°=0.6）

Answer 1

分析 （1）小球從A點拋出做平拋運動，將C點的速度進行分解，求出豎直分速度的大小，從而根據豎直方向上的運動規(guī)律求出AC兩點的高度差．
（2）根據牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對軌道的壓力．
（3）當小物塊剛好不從長木板滑出時，與木板具有相同的速度，根據牛頓第二定律和運動學公式求出共同的速度，因為摩擦力與相對路程的乘積等于產生的熱量，結合能量守恒定律求出木板的長度．

解答 解：（1）小物塊在C點時的速度大小為v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}$=$\frac{3}{\frac{3}{5}}$=5m/s，
豎直分量為v_Cy=v_Csin53°=4m/s
下落高度h=$\frac{{{v}_{Cy}}^{2}}{2g}=\frac{16}{20}$=0.8m
（2）小球在D點時由牛頓第二定律得F_N-mg=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$
代入數據解得F_N=68N
由牛頓第三定律得F_N′=F_N=68N，方向豎直向下
（3）設小物塊剛好滑到木板右端時與木板達到共同速度，大小為v，小物塊在木板上滑行的過程中，小物塊與長木板的加速度大小分別為
a₁=μg=3m/s²，
a₂=$\frac{μmg}{M}$=1m/s²
速度分別為v=v_D-a₁t，v=a₂t
對物塊和木板系統，由能量守恒定律得
μmgL=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$（m+M）v²
解得：L=3.625m，即木板的長度至少是3.625m
答：（1）A、C兩點的高度差為0.8m；
（2）小物塊到達圓弧軌道末端D點時速度為v_D=$\sqrt{29}$ m/s，此時小物塊對軌道的壓力大小為68N，方向豎直向下；
（3）小物塊到達圓弧軌道末端D點時速度為v_D=$\sqrt{29}$ m/s，要使小物塊不滑出長木板，木板的最小長度是3.625m．

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律、能量守恒定律等知識，綜合性較強，關鍵理清物塊的運動過程，選擇合適的規(guī)律進行求解．