Question

已知萬有引力常量為G，地球半徑為R，同步衛(wèi)星距地面的高度為h，地球的自轉周期T，地球表面的重力加速度g．某同學根據(jù)以上條件，提出一種估算地球赤道表面的物體隨地球自轉的線速度大小的方法：地球赤道表面的物體隨地球作圓周運動，由牛頓運動定律有

GMm

R2

=m

v2

R

又因為地球上的物體的重力約等于萬有引力，有mg=

GMm

R2

由以上兩式得：v=

gR

（1）請判斷上面的結果是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解法和結果．
（2）由以上已知條件還可以估算出哪些物理量？（請估算兩個物理量，并寫出估算過程）．

Answer 1

（1）以上結果是不正確的．因為地球赤道表面的物體隨地球做圓周運動的向心力并不是物體所受的萬有引力，而是萬有引力與地面對物體支持力的合力．
正確的解答如下：
地球赤道表面的物體隨地球自傳的周期為T，軌道半徑為R，所以線速度大小為v=

2πR

T

（2）①可估算地球質量M．設同步衛(wèi)星的質量為m，軌道半徑為r=R+h，周期等于地球自傳周期T，由牛頓第二定律有
G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
所以M=

4π2(R+h)3

GT2

．
或者：對地面上的物體有mg=G

Mm

R2

      所以地球質量為M=

R2g

G

②可以估算同步衛(wèi)星運轉時的線速度v′的大小，
由①可知，地球同步衛(wèi)星的周期為T，軌道半徑為r=R+h，
所以v′=

2π(R+h)

T

或者：萬有引力提供向心力G

Mm

(R+h)2

=m

v′2

(R+h)

      對地面上的物體有mg=G

Mm

R2

      所以得v′=R

g R+h

答：（1）因為地球赤道表面的物體隨地球做圓周運動的向心力并不是物體所受的萬有引力，而是萬有引力與地面對物體支持力的合力．
正確的解答應為：地球赤道表面的物體隨地球自傳的周期為T，軌道半徑為R，所以線速度大小為v=

2πR

T

．
（2）由以上已知條件還可以估算出地球的質量和同步衛(wèi)星的線速度．推導過程如上面所述．