Question

已知萬(wàn)有引力常量為G，地球半徑為R，同步衛(wèi)星距地面的高度為h，地球的自轉(zhuǎn)周期T，地球表面的重力加速度g．某同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球赤道表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度大小的方法：地球赤道表面的物體隨地球作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有

GMm

R2

=m

v2

R

又因?yàn)榈厍蛏系奈矬w的重力約等于萬(wàn)有引力，有mg=

GMm

R2

由以上兩式得：v=

gR

（1）請(qǐng)判斷上面的結(jié)果是否正確，并說明理由．如不正確，請(qǐng)給出正確的解法和結(jié)果．
（2）由以上已知條件還可以估算出哪些物理量？（請(qǐng)估算兩個(gè)物理量，并寫出估算過程）．

Answer 1

（1）以上結(jié)果是不正確的．因?yàn)榈厍虺嗟辣砻娴奈矬w隨地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力并不是物體所受的萬(wàn)有引力，而是萬(wàn)有引力與地面對(duì)物體支持力的合力．
正確的解答如下：
地球赤道表面的物體隨地球自傳的周期為T，軌道半徑為R，所以線速度大小為v=

2πR

T

（2）①可估算地球質(zhì)量M．設(shè)同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，軌道半徑為r=R+h，周期等于地球自傳周期T，由牛頓第二定律有
G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
所以M=

4π2(R+h)3

GT2

．
或者：對(duì)地面上的物體有mg=G

Mm

R2

      所以地球質(zhì)量為M=

R2g

G

②可以估算同步衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的線速度v′的大小，
由①可知，地球同步衛(wèi)星的周期為T，軌道半徑為r=R+h，
所以v′=

2π(R+h)

T

或者：萬(wàn)有引力提供向心力G

Mm

(R+h)2

=m

v′2

(R+h)

      對(duì)地面上的物體有mg=G

Mm

R2

      所以得v′=R

g R+h

答：（1）因?yàn)榈厍虺嗟辣砻娴奈矬w隨地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力并不是物體所受的萬(wàn)有引力，而是萬(wàn)有引力與地面對(duì)物體支持力的合力．
正確的解答應(yīng)為：地球赤道表面的物體隨地球自傳的周期為T，軌道半徑為R，所以線速度大小為v=

2πR

T

．
（2）由以上已知條件還可以估算出地球的質(zhì)量和同步衛(wèi)星的線速度．推導(dǎo)過程如上面所述．