Question

4．如圖所示，傾角為θ的光滑斜面MNPQ的長(zhǎng)為L(zhǎng)，C點(diǎn)為斜面底邊NP的中點(diǎn)，有一長(zhǎng)為$\frac{L}{4}$的細(xì)線，細(xì)線的一端固定在O點(diǎn)，O點(diǎn)是斜面MNPQ的中心位置，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，使小球在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，小球可看成質(zhì)點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的有（　　）

• A． 若小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)的速度為v_A=$\frac{\sqrt{gLsinθ}}{2}$
• B． 若小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)A點(diǎn)時(shí)，細(xì)線因某種原因突然斷裂，為保證小球不從MN邊射出，則斜面底邊NP的寬度d應(yīng)滿足d≥$\frac{\sqrt{6}}{4}$L
• C． 若小球轉(zhuǎn)到B點(diǎn)時(shí)細(xì)線突然斷裂，小球恰好從距離C點(diǎn)為b的E點(diǎn)射出，則細(xì)線斷裂的瞬間細(xì)線的拉力為mgsinθ（8b²+L²）
• D． 若小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)對(duì)細(xì)線的拉力為mg

Answer 1

分析 小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)時(shí)由重力的下滑分量恰好提供向心力，由牛頓第二定律求v_A．
在A點(diǎn)細(xì)線突然斷裂后，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和臨界條件求解．
小球轉(zhuǎn)到B點(diǎn)時(shí)細(xì)線突然斷裂，之后小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，由分位移公式求出小球通過(guò)B點(diǎn)的速度，再由牛頓第二定律求細(xì)線的拉力．

解答 解：A、D、小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)時(shí)由重力的下滑分量恰好提供向心力，對(duì)細(xì)線的拉力為0，由牛頓第二定律有：
mgsinθ=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{L}{4}}$
解得：v_A=$\frac{\sqrt{gLsinθ}}{2}$故A正確，D錯(cuò)誤；
B、在A點(diǎn)細(xì)線斷裂后，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
$\frac{3}{4}$L=$\frac{1}{2}gsinθ{t}^{2}$
若不從MN邊射出，應(yīng)有：v_At≤$\fracbdm3lt9{2}$
解得：d≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$L．故B錯(cuò)誤；
C、若小球轉(zhuǎn)到B點(diǎn)時(shí)細(xì)線突然斷裂，之后小球類平拋到E點(diǎn)，則有：
$\frac{1}{4}$L=$\frac{1}{2}gsinθ{t}^{2}$
b=v_Bt
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：T-mgsinθ=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{4}}$
解得：T=mgsinθ（1+$\frac{8^{2}}{{L}^{2}}$）故C錯(cuò)誤．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找到圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力來(lái)源，對(duì)于類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式列式求解．要注意類平拋運(yùn)動(dòng)的加速度不是g，而是gsinθ．