Question

5．在豎直平面內，一根光滑金屬桿彎成如圖1所示形狀，相應的曲線方程為y=5.0cos（kx+$\frac{2π}{3}$）（單位：m），式中k=$\frac{1}{5}$m^-1，桿足夠長，圖中只畫出了一部分．將一質量為m=1.0kg的小環(huán)（可視為質點）套在桿上，取g=10m/s²．

（1）若使小環(huán)以v₁=10m/s的初速度從x=0處沿桿向下運動，求小環(huán)運動到x=$\frac{5π}{3}$（m）處時的速度的大�。�
（2）在第（1）問的情況下，求小環(huán)在桿上運動區(qū)域的x坐標范圍；
（3）一般的曲線運動可以分成許多小段，每一小段都可以看成圓周的一部分，即把整條曲線用系列不同的小圓弧代替，如圖2所示，曲線上A點的曲率圓的定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點做一圓，在極限的情況下，這個圓叫做A點的曲率圓．其半徑ρ叫做A點的曲率半徑．若小環(huán)從x=0處以v₂=5$\sqrt{10}$m/s的速度出發(fā)沿桿向下運動，到達軌道最低點P時桿對小環(huán)的彈力大小為70N，求小環(huán)經(jīng)過軌道最高點Q時桿對小環(huán)的彈力．

Answer 1

分析 （1）先據(jù)曲線方程求出小環(huán)運動到x=$\frac{5π}{3}$（m）時的高度，再據(jù)機械能守恒求出該點的速度．
（2）據(jù)機械能守恒求出小環(huán)運動的最高點，再據(jù)曲線方程求出小環(huán)在趕上的運動區(qū)域即可．
（3）先據(jù)機械能守恒和牛頓運動定律求出再低點的曲率半徑，再利用機械能守恒和牛頓運動定律求出最高點時與桿的作用力．

解答 解：（1）據(jù)曲線方程可知，當x=0時，y=-2.5m；當x=$\frac{5π}{3}$（m），y=-5m．
由x=0時到x=$\frac{5π}{3}$（m）為研究對象，由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}mv_1^2$=-mg（5-2.5）+$\frac{1}{2}m{v^2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v=$5\sqrt{6}m/s$；
（2）分析可知，小環(huán)在曲線上運動機械能守恒，當運動到最高點是速率為零，據(jù)機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}mv_1^2$+mg（-2.5）=mgh[h為最高點到x軸的距離]…①
據(jù)曲線方程：h=5.0cos（kx+$\frac{2π}{3}$）…②
聯(lián)立①②解得：x=5π，所以$-\frac{5π}{3}≤x≤5π$；
（3）由小環(huán)從x=0處到最低點為研究對象，據(jù)功能關系律得：
$\frac{1}{2}mv_2^2$+mg（-2.5）=$\frac{1}{2}mv_3^2$-5mg（v₃為最低點的速度）…③
在最低點為研究對象，據(jù)牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$（F為最低點時，小環(huán)與軌道的彈力）…④
由小環(huán)x=0到最高點為研究對象，據(jù)機械能守恒定律：$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$+mg（-2.5）=5mg+$\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$（　v₄為最高點的速度）…⑤
再最高點為研究對象，據(jù)牛頓第二定律得：
mg-F₂=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$（F₂為最高點時，小環(huán)與軌道的彈力）…⑥
聯(lián)立③④⑤⑥解得：F₂=-10N，負號表示方向豎直向下；
答：（1）若使小環(huán)以v₁=10m/s的初速度從x=0處沿桿向下運動，求小環(huán)運動到x=$\frac{5}{3}π$（m）處時的速度的大小5$\sqrt{6}$m/s；
（2）在第（1）問的情況下，求小環(huán)在桿上運動區(qū)域的x坐標范圍-$\frac{5}{3}π$≤x≤5π；
（3）小環(huán)經(jīng)過軌道最高點Q時桿對小環(huán)的彈力為10N，方向豎直向下．

點評 本題和數(shù)學的上的方程結合起來，根據(jù)方程來確定物體的位置，從而利用機械能守恒來解題，題目新穎，是個好題．