Question

11．如圖所示，水平地面上方有一底部帶有小孔的絕緣彈性豎直擋板，板高h(yuǎn)=9m，與板等高處有一水平放置的籃筐，筐口的中心離擋板s=3m．板的左側(cè)以及板上端與筐口的連線上方存在勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T；質(zhì)量m=1×10^-3kg、電量q=-1×10^-3C、直徑略小于小孔寬度的帶電小球（視為質(zhì)點(diǎn)），以某一速度垂直于磁場方向從小孔水平射入，恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若與檔板相碰就以原速率彈回，且不計(jì)碰撞時(shí)間，碰撞時(shí)小球的電量保持不變，取g=10m/s²，求：
（1）電場強(qiáng)度的大小與方向；
（2）小球運(yùn)動(dòng)的最大速率；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故電場力與重力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）洛倫茲力提供向心力，故半徑越大，速度越大，當(dāng)小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運(yùn)動(dòng)半徑最大，根據(jù)幾何關(guān)系求解出半徑，然后求解最大速度；
（3）要求最長時(shí)間，需求最大圓心角，畫出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系得到半徑的可能值，然后求解最長時(shí)間．

解答 解：（1）小球能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力與電場力合力為零，
則：qE=mg，代入數(shù)據(jù)解得：E=10N/C，方向豎直向下；

（2）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運(yùn)動(dòng)半徑最大，如圖1所示，
由幾何知識(shí)可得：（h-R_m）²+s²=R_m²，解得：R_m=5m，v_m=$\frac{qB{R}_{m}}{m}$=5m/s；
（3）設(shè)小球與檔板碰撞n次，此時(shí)最小半徑為：$\frac{h}{2n}$，
要擊中目標(biāo)必有：$\frac{h}{2n}$≥3，$\frac{9}{2n}$≥3，n≤1.5，
則n只能�。�0、1，
當(dāng)n=0時(shí)，即為（2）問中的解，
當(dāng)n=1時(shí)，可得：（h-3R）²+s²=R²，
（9-3R）²+3²=R²，解得：R₁=3m，R₂=3.75m，
當(dāng)R₂=3.75m時(shí)小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2中的軌跡①所示．
sinθ=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{4}{5}$，解得：θ=53°，α=360°+（180°-53°）=487°，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{v}$，解得：t_m=$\frac{487°}{360°}$T≈8.5s；
答：（1）電場強(qiáng)度的大小為10N/C，方向：豎直向下；
（2）小球運(yùn)動(dòng)的最大速率為5m/s；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為8.5s．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找到向心力來源，畫出軌跡，然后根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑，再聯(lián)立方程組求解．