Question

有兩艘潛艇一前一后，兩者相距L，且兩者始終保持相同的速度v同向前進(jìn)．后艇的水下聲納系統(tǒng)發(fā)出聲音信號，到達(dá)前面的艇時(shí)立即被反射回來．已知聲音信號在水中傳播的速度為v_o．
（1）證明：后艇從發(fā)出信號到接收到反射回來的信號的時(shí)間為：t=

2voL

vo2-v2

（2）通過對t=

2voL

vo2-v2

這個(gè)數(shù)學(xué)式的討論，說明當(dāng)兩艘艇處于何種狀態(tài)時(shí)，后艇從發(fā)出信號到接收到反射回來的信號的時(shí)間最短．
（3）如果從純數(shù)學(xué)的角度來說，當(dāng)v=v_o時(shí)，t=

2voL

vo2-v2

的分母為零，是沒有意義的．但是，這是一個(gè)表達(dá)一定的物理意義的式子．那么，從物理的角度說，當(dāng)v=v_o時(shí)，t=

2voL

vo2-v2

的分母為零意味著什么呢？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩者始終保持相同的速度υ同向前進(jìn)，可得出信號向前面的艇傳播時(shí)相對速度，和信號返回時(shí)，相對后潛水艇的速度，再根據(jù)兩者相距L，利用速度公式變形可分別求出到達(dá)前面潛水艇的時(shí)間和到達(dá)后潛水艇的時(shí)間，二者相加即可．
（2）將t=

2v0L

v 2 0 -v2

化簡得t=

2L

v   0 - v2 v0

，然后根據(jù)v的取值討論，可得出兩潛水艇靜止時(shí)，后艇從發(fā)出信號到接收到反射回來的信號的時(shí)間最短．
（3）從物理的角度說，當(dāng)υ=υ₀時(shí)，t=

2v0L

v 2 0 -v2

的分母為零意味信號不可能到達(dá)前面的潛水艇．

解答：解：（1）因L一定，兩艘潛艇保持相同的速度υ同向前進(jìn)．信號向前面的艇傳播時(shí)，相對前面潛水艇的速度為：v₀-v，
到達(dá)前面潛水艇的時(shí)間為t₁=

L

v0-v

，信號返回時(shí)，相對后潛水艇的速度為：v₀+v，到達(dá)后潛水艇的時(shí)間為：t₂=

L

v0+v

．
則總時(shí)間為t=t₁+t₂，代入整理得t=

L

v0-v

+

L

v0+v

=

2v0L

v 2 0 -v2

；
（2）由t=

2v0L

v 2 0 -v2

=

2L

v   0 - v2 v0

得，當(dāng)v=0時(shí)，v₀-

v2

v0

的值最大，則t最小，這說明當(dāng)兩潛水艇靜止時(shí)，后潛水艇從發(fā)出信號到接收到反射回來的信號的時(shí)間最短．
（3）從純數(shù)學(xué)的角度來說，當(dāng)υ=υ₀時(shí)，t=

2v0L

v 2 0 -v2

的分母為零，是沒有意義的，但是，這是一個(gè)表達(dá)一定的物理意義的式子．那么，從物理的角度說，當(dāng)υ=υ₀時(shí)，t=

2v0L

v 2 0 -v2

的分母為零時(shí)，就意味的從后潛水艇發(fā)出的信號不可能到達(dá)前面的潛水艇，說明此時(shí)聲納系統(tǒng)失�。�

答：（1）證明見上
（2）v=o，后艇從發(fā)出信號到接收到反射回來的信號的時(shí)間最短．
（3）無法進(jìn)行信號傳遞．

點(diǎn)評：此題主要考查回聲測距離的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是靈活掌握速度公式的變形，難點(diǎn)是由t=

2v0L

v 2 0 -v2

這個(gè)式子到

2L

v   0 - v2 v0

，對此要求數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好，因此學(xué)生具備一定的學(xué)科綜合能力，此題屬于難題．