Question

3．如圖所示，一根彈性細繩自然長度為l，勁度系數為k，將其一端穿過一個光滑小孔O，（其在水平地面上的投影點為O′）系在一個可看成質點的質量為m的滑塊A上，A放在水平面上．小孔O離繩子的固定端的豎直距離為l，離水平面的高度為h，（h$＜\frac{mg}{k}$），滑塊A與水平地面間的最大靜摩擦力為正壓力的μ倍，重力加速度為g．
求（1）滑塊靜止在O點正下方O′處時，地面對滑塊的支持力；
（2）當滑塊靜止在與O′點的距離為r處時，地面對滑塊的摩擦力的大小；
（3）滑塊可以保持靜止狀態(tài)的區(qū)域．

Answer 1

分析 對物體受力分析，根據共點力平衡，結合胡克定律求出地面對滑塊的支持力．
抓住拉力在水平方向上的分力等于摩擦力的大小求出摩擦力的大小．
抓住滑塊所受的最大靜摩擦力，結合共點力平衡求出滑塊離開O點正下方的距離．

解答 解：（1）滑塊靜止在O點正下方O′處時，F_N=mg-F_Tsinθ，
$sinθ=\frac{h}{\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}}$，
F_T=k△x=$k\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}$，
解得F_N=mg-kh．
（2）從幾何關系看出：彈性細繩的伸長量為△x=$\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}$，彈性細繩對滑塊A的拉力為F_T=k△x=$k\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}$
摩擦力f=F_Tcosθ，
$cosθ=\frac{r}{\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}}$，
解得f=kr．
（3）設A靜止時離O′的距離為r，此位置處A將受到四個力的作用如圖：
對F_T正交分解，由于處于平衡狀態(tài)所以有：
豎直方向：F_N+F_Tsinθ=mg，
水平方向：F_Tcosθ=F_f
而F_T=k$\frac{h}{sinθ}$，
F_fmax=μF_N
所以有：$k\frac{h}{sinθ}cosθ=f$≤f_max=μ （mg-kh）
其中$\frac{h}{sinθ}cosθ=r$，
即r$≤\frac{μ（mg-kh）}{k}$．
答：（1）滑塊靜止在O點正下方O′處時，地面對滑塊的支持力為mg-kh；
（2）當滑塊靜止在與O′點的距離為r處時，地面對滑塊的摩擦力的大小為kr；
（3）滑塊可以靜止在以O’為圓心，$\frac{μ（mg-kh）}{k}$為半徑的圓域內的任意位置．

點評 解決本題的關鍵能夠正確地受力分析，運用共點力平衡，結合胡克定律和幾何關系綜合求解，難度中等．