Question

4．如圖所示，水平傳送帶BC左端與光滑水平面AB相連，右端與光滑曲面CD相連；在光滑的地面上距平臺(tái)AB左端S=2m處放置與臺(tái)面等高的長(zhǎng)木板M，其長(zhǎng)度L=4cm．現(xiàn)有一木塊m以v₀=8m/s的速度滑上長(zhǎng)木板．在運(yùn)動(dòng)過程中，長(zhǎng)木板M碰到AB后立刻停下來，木塊m運(yùn)動(dòng)至光滑曲面后滑回．當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，木塊第一次滑回后靜止在BC的中點(diǎn)．已M=5kg，m=3kg，M與m之間的摩擦系數(shù)μ=0.5，傳送帶長(zhǎng)l=3m，g取10m/s²，不計(jì)空氣阻力，求；
（1）通過分析判斷長(zhǎng)木板M碰到AB時(shí)，M、m是否共速？
（2）傳送帶與木塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁；
（3）當(dāng)傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，木塊第一次滑回好能滑至B點(diǎn)，通過計(jì)算分析木塊第一次由B向C運(yùn)動(dòng)過程中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并判斷木塊能否與皮帶共速？如果能，計(jì)算物塊在何位置與皮帶共速？．

Answer 1

分析 （1）分別以m和M為研究對(duì)象，水平方向求出其加速度；再根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系求解共速的時(shí)間和速度，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系求解各自的位移，進(jìn)行比較分析；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求解傳送帶與木塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理分析傳送帶的做功情況和物塊m的運(yùn)動(dòng)情況．

解答 解：（1）以m為研究對(duì)象，水平方向根據(jù)牛頓第二定律可得其加速度大小為：${a}_{1}=\frac{μmg}{m}=μg=5m/{s}^{2}$，方向向左；
以木板為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律可得木板的加速度大小為：${a}_{2}=\frac{μmg}{M}=\frac{0.5×3×10}{5}=3m/{s}^{2}$，方向向右；
設(shè)二者達(dá)到共同速度的時(shí)間為t，則：v₀-a₁t=a₂t，
代入數(shù)據(jù)解得：t=1s；
共同速度為v=a₂t=3×1m/s；
在這段時(shí)間內(nèi)m的位移為x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t=\frac{8+3}{2}×1=5.5m$，
在這段時(shí)間木板的位移為$s′=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{1}{2}×3×{1}^{2}=1.5m$＜2m，
此過程m相對(duì)M的位移L′=x₁-s′=5.5m-1.5m=4m=L，
由于s′＜s，所以長(zhǎng)木板碰到AB時(shí)，M、m能夠共速時(shí)，m剛好達(dá)到M的右端；
（2）當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，木塊第一次滑回后靜止在BC的中點(diǎn)，設(shè)m與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁，
根據(jù)動(dòng)能定理可得：$-{μ}_{1}mg•1.5l=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
即$-{μ}_{1}×3×10×1.5×3=0-\frac{1}{2}×3×{3}^{2}$，
解得：μ₁=0.1；
（3）假設(shè)物體能夠與傳送帶達(dá)到共速，設(shè)此過程中傳送帶做的功為W，共速后傳送帶不做功；
整個(gè)過程根據(jù)動(dòng)能定理可得：W-μ₁mgl=0-$\frac{1}{2}$mv²，
解得W=-$\frac{1}{2}$μ₁mgl，所以木塊第一次由B向C運(yùn)動(dòng)過程中先減速再勻速，木塊能與皮帶共速；物塊在$\frac{l}{2}$位置與皮帶共速．
答：（1）長(zhǎng)木板M碰到AB時(shí)，M、m已經(jīng)共速；
（2）傳送帶與木塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1；
（3）當(dāng)傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，木塊第一次由B向C運(yùn)動(dòng)過程中先減速再勻速；物塊在$\frac{l}{2}$處與皮帶共速．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是弄清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進(jìn)行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁；運(yùn)用動(dòng)能定理解題時(shí)，首先要選取研究過程，然后分析在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中哪些力做正功、哪些力做負(fù)功，初末動(dòng)能為多少，根據(jù)動(dòng)能定理列方程解答．