Question

如圖（a），磁鐵A、B的同名磁極相對放置，置于水平氣墊導軌上．A固定于導軌左端，B的質量m=0.5kg，可在導軌上無摩擦滑動．將B在A附近某一位置由靜止釋放，由于能量守恒，可通過測量B在不同位置處的速度，得到B的勢能隨位置x的變化規(guī)律，見圖（c）中曲線I．若將導軌右端抬高，使其與水平面成一定角度（如圖（b）所示），則B的總勢能曲線如圖（c）中II所示，將B在x=20.0cm處由靜止釋放，求：（解答時必須寫出必要的推斷說明．取g=9.8m/s²）
（1）B在運動過程中動能最大的位置；
（2）運動過程中B的最大速度和最大位移．
（3）圖（c）中直線III為曲線II的漸近線，求導軌的傾角．
（4）若A、B異名磁極相對放置，導軌的傾角不變，在圖（c）上畫出B的總勢能隨x的變化曲線．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)功能關系可知，當勢能最小時，動能最大．
（2）由圖得出釋放時的勢能便是整個運動過程中的總能量，根據(jù)能量轉化與守恒可知勢能最小時動能最大，據(jù)此可求得最大速度和最大位移．
（3）所謂漸近線，就是曲線 II的趨勢線，即當x→∞時曲線 II趨向于漸近線III，所謂x→∞物理意義是磁場很小到可以忽略不計的位置，此時總勢能可以認為只有重力勢能而沒有磁場能．所以漸近線III表示B的重力勢能隨位置變化關系．然后根據(jù)數(shù)學知識可以求得結果．
（4）因為異名磁極相互吸引，所以釋放B后，B向A運動，引力做正功，勢能減小，無窮遠處勢能為0，減小后自然為負，所以，其圖象是關于圖線 III與圖線 II對稱的曲線．

解答：解：（1）勢能最小處動能最大
由圖線II得x=6.1cm（在5.9～6.3cm間均視為正確）
故B在運動過程中動能最大的位置為x=6.1cm．
（2）由圖讀得釋放處（x=20.0cm處）勢能E_p=0.90J，此即B的總能量．由于運動中總能量守恒，因此在勢能最小處動能最大，由圖象得最小勢能為0.47J，則最大動能為E_km=0.9-0.47=0.43J
（E_km在0.42～0.44J間均視為正確）
最大速度為vm=

2Ekm m

=

2×0.43 0.5

=1.31(m/s)（v_m在1.29～1.33 m/s間均視為正確）
x=20.0 cm處的總能量為0.90J，最大位移由E=0.90J的水平直線與曲線II的左側交點確定，由圖中讀出（左側）交點位置為x=2.0cm，因此，最大位移△x=20.0-2.0=18.0cm（△x在17.9～18.1cm間均視為正確）
故運動過程中B的最大速度為1.31m/s，最大位移為18.0cm．
（3）漸近線III表示B的重力勢能隨位置變化關系，即E_Pg=mgxsinθ=kx
∴sinθ=

k

mg

由圖讀出直線斜率k=

0.85-0.30

20.0-7.0

=4.23×10-2(J/cm)
θ=sin-1(

k×102

mg

)=sin-1

4.23

0.5×9.8

=59.7°（θ在59°～61°間均視為正確）
故導軌的傾角為59.7⁰．
（4）若異名磁極相對放置，A，B間相互作用勢能為負值，總勢能如圖中紅線所示，

點評：本題考查包括重力勢能、磁場能和動能在內的能量守恒，其中，總勢能包括重力勢能和磁極間相互作用勢能即磁場能，還要讀圖和作圖，有一定難度，難點在（1）關于漸近線，有的同學沒有學過，不懂漸近線是什么，即使知道漸近線是曲線的趨勢線，也難知道對本題來說，漸近線是重力勢能線．（2）把曲線 II轉化為答案中的紅線，把重力勢能與磁場能之和轉化為二者之差也不容易．此題高考中從來沒有出現(xiàn)過，是創(chuàng)新．