Question

2．一光滑絕緣細(xì)直長桿處于靜電場中，沿細(xì)桿建立坐標(biāo)軸x，以x=0處的O點為電勢零點，如圖（a）所示．細(xì)桿各處電場方向沿x軸正方向，其電場強度E隨x的分布如圖（b）所示．細(xì)桿上套有可視為質(zhì)點的帶電環(huán)，質(zhì)量為m=0.2kg，電荷量為q=-2.0×10^-6C．帶電環(huán)受沿x軸正向的恒力F=1.0N的作用，從O點靜止開始運動，求：
（1）帶電環(huán)在x=1m處的加速度；
（2）帶電環(huán)運動區(qū)間內(nèi)的電勢最低值；
（3）帶電環(huán)動能為0.5J時的位置；
（4）帶電環(huán)電勢能是動能3倍時的電勢能．

Answer 1

分析 （1）由圖象得到電場強度隨時間變化的函數(shù)表達(dá)式，求出在x=1m處的合力，根據(jù)牛頓第二定律求解；
（2）由動能定理求得當(dāng)帶電環(huán)運動區(qū)間內(nèi)的電勢最低值的距離，在結(jié)合圖象可求；
（3）由動能定理求得帶電環(huán)動能為0.5J時的位置；
（4））當(dāng)帶電環(huán)電勢能是動能3倍，利用合外力做功和電場力做功的比值解得距離，再用電勢能的定義求解．

解答 解：（1）由圖可知：E=（x+2）×10⁵N/C，可知
帶電環(huán)受到的電場力：F_E=Eq=（x+2）×10^-5×2×10^-6=0.2x+0.4 N
帶電環(huán)受到的合外力：F_合=F-Eq=1-（0.2x+0.4）N=0.6-0.2x
當(dāng)x=1m時，F(xiàn)_合=0.6-0.2x=（0.6-0.2）N=0.4N
由F=ma得：$a=\frac{F}{m}=\frac{0.4}{0.2}m/{s^2}=2m/{s^2}$
（2）因為沿電場線方向電勢降低，所以當(dāng)帶電環(huán)沿x軸正方向運動到了最遠(yuǎn)處電勢最低點．
由動能定理得：${W}_{合}=q\overline{E}x=\frac{0.6+（0.6-0.2x）}{2}x=0$
解得x=6m
由E-x圖象可知：U₀-U_min=0-[（2+8）×10⁵×6]/2=-3×10⁶V
（3）當(dāng)W_合=0.5J時，帶電環(huán)動能為0.5J，由${W}_{合}=q\overline{E}x=\frac{0.6+（0.6-0.2x）}{2}x=0.5J$
解得x=1m或x=5mW
（4）帶電環(huán)電勢能是動能3倍的位置，即W_合：W_Eq=1：3
即$\frac{0.6+（0.6-0.2x）}{2}x：\frac{0.4+（0.2x+0.4）}{2}x=1：3$
解得x=3.5m
x=3.5m處的電勢能為E_P=U_xq${E_p}=-\frac{{2+（3.5+2）×{{10}^5}}}{2}×3.5×（-2×{10^{-6}}）J=2.625J$
答：（1）帶電環(huán)在x=1m處的加速度2m/s2；
（2）帶電環(huán)運動區(qū)間內(nèi)的電勢最低值為-3×10⁶V；
（3）帶電環(huán)動能為0.5J時的位置為3.5m；
（4）當(dāng)帶電環(huán)電勢能是動能3倍時的電勢能為2.625J．

點評 本題綜合考查了帶電圓環(huán)在電場中的運動和動能定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象建立電場強度隨時間變化的函數(shù)表達(dá)式，并要求學(xué)生能理解和掌握電勢能、電勢的概念和計算．