Question

9．如圖甲所示，在y≥0的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，其磁感應強度B隨時間t變化的規(guī)律如圖乙所示；與x軸平行的虛線MN下方有沿+y方向的勻強電場，電場強度E=$\frac{8}{π}$×10³N/C．在y軸上放置一足夠大的擋板．t=0時刻，一個帶正電粒子從P點以v=2×10⁴m/s的速度沿+x方向射入磁場．已知電場邊界MN到x軸的距離為$\frac{π-2}{10}$m，P點到坐標原點O的距離為1.3m，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁶C/kg，不計粒子的重力．求粒子：
（1）在磁場中運動時距x軸的最大距離；
（2）粒子從P點進入磁場后經(jīng)多長時間打到檔板上；
（3）打在擋板上的位置到坐標原點O的距離．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子從P點進入磁場后做勻速圓周運動，由洛侖茲力提供向心力、以及運動學公式可求得帶電粒子在磁場中的半徑和周期，這是做題的條件．由于磁場是間時有時無，所以結合磁感應強度的變化規(guī)律畫出粒子在兩個周期的運動軌跡，根據(jù)軌跡顯然知道粒子進入磁場運動時離開x軸的最大距離是粒子軌跡圓的直徑．
（2）由運動軌跡，根據(jù)帶電粒子在每個時間段的運動特點，分別求出每一個時間段的運動時間，再相加就是打在板上的總時間．
（3）在磁感應強度變化的一個周期內(nèi)，帶電粒子完成一次周性運動，其軌跡向x軸負方向平移2R的距離，根據(jù)此特征畫出最后一次打在檔板上的運動軌跡，由幾何關系就能求出打在檔板的坐標．

解答 解：設粒子在磁場中運動的軌道半徑R和周期T，有
    $qBv=m\frac{{v}^{2}}{R}$      得：R=0.2m
   $T=\frac{2πm}{qB}=2π×1{0}^{-5}s$
  結合磁感應強度變化圖象，畫出粒子運動軌跡如答圖甲所示
（1）運動中粒子距x軸的最大距離為d_m=2R=0.4m
（2）在0～$\frac{3π}{2}×1{0}^{-5}s$時間內(nèi)，粒子偏轉$\frac{3}{4}T$到達C點，接著無磁場，粒子做勻速直線運動到MN線上，歷時
  t₁=$\frac{R+\overline{OM}}{v}$=$\frac{π}{2}×1{0}^{-5}s$，之后在電場中往返時間t₂=2×$\frac{v}{qE}$=$\frac{π}{2}×1{0}^{-5}s$，由2t₁+t₂=$\frac{3π}{2}×1{0}^{-5}s$知粒子回到C點時磁場恢復，之后又
  偏轉一周半，
  如此重復，最后在磁場中偏轉120⁰打在y軸上的J點，整個運動時間為t=$\frac{3T}{4}+\frac{3T}{2}×2+\frac{T}{3}+\frac{3T}{4}×3$=$\frac{38π}{3}×1{0}^{-5}s$
（3）由上問可知，粒子每完成一次周期性的運動，將向-x方向平移2R（即答圖甲中所示從P點移到F點），$\overline{OP}=1.1m=5.5R$
  故粒子打在擋板前的一次運動如答圖乙所示，其中I是粒子開始做圓周運動的起點，J是粒子打在擋板上的位置．K是最后
  一 段圓周運動的圓心，Q是I點與K點連線與y軸的交點．
  由題意知：$\overline{QJ}=OP-5R=0.1m$
  $\overline{KQ}=R-QI=0.1m=\frac{R}{2}$，則有：$\overline{JQ}=\sqrt{{R}^{2}-（KQ）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
 J點到O的距離為：
   ${y}_{J}=R+\frac{\sqrt{3}}{2}R$=$\frac{2+\sqrt{3}}{10}m$
答：（1）在磁場中運動時距x軸的最大距離為0.4m．
（2）粒子從P點進入磁場后經(jīng)$\frac{38π}{3}×1{0}^{-5}s$打到檔板上．
（3）打在擋板上的位置到坐標原點O的距離為$\frac{2+\sqrt{3}}{10}m$．

點評 本題的特點是計算一步往下走一步，畫出一個周期內(nèi)帶電粒子運動的軌跡以及最后一次打在檔板的軌跡是關鍵，結合幾何關系，就能求出離開x軸的最大距離、打在檔板上時間和位置坐標．