Question

4．假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若它貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)行周期為T(mén)₁，已知引力常量為G，則該天體的密度為$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$．若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)₂，則該天體的密度又可表示為$\frac{3{π（R+h）}^{3}}{{{GT}_{2}^{2}R}^{3}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出天體的質(zhì)量，結(jié)合天體的體積求出天體的密度．

解答 解：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R得，
天體的質(zhì)量M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}_{1}^{2}}$．
則天體的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$．
若這顆衛(wèi)星距該天體的表面的高度為h，測(cè)得在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)₂，
根據(jù)$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）得，
天體的質(zhì)量M=$\frac{{{4π}^{2}（R+h）}^{3}}{{GT}_{2}^{2}}$．
則天體的密度ρ′=$\frac{3{π（R+h）}^{3}}{{{GT}_{2}^{2}R}^{3}}$．
故答案為：$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$；$\frac{3{π（R+h）}^{3}}{{{GT}_{2}^{2}R}^{3}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一理論，結(jié)合軌道半徑和周期求解中心天體的質(zhì)量．