Question

4．如圖，水平面內(nèi)有一半徑r=2$\sqrt{2}$m的光滑金屬圓形導軌，圓形導軌的右半部分的電阻阻值R=1.5Ω，其余部分電阻不計，圓形導軌的最左邊A處有一個斷裂口，使圓形導軌不閉合．將質(zhì)量m=2kg，電阻不計的足夠長直導體棒擱在導軌GH處，并通過圓心O．空間存在垂直于導軌平面的勻強磁場，磁感應強度B=0.5T．在外力作用下，棒由GH處以一定的初速度向左做與GH方向垂直的直線運動，運動時回路中的電流強度始終與初始時的電流強度相等．（取π≈3，$\sqrt{10}$≈3）
（1）若初速度v₁=3m/s，求棒在GH處所受的安培力大小F_A．
（2）若初速度v₂=$\sqrt{2}$m/s，求棒向左移動距離2m所需時間△t．
（3）若在棒由GH處向左移動2m的過程中，外力做功W=5J，求初速度v₃．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感應電動勢，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力．
（2）由法拉第電磁感應定律與E=BLv求出時間；
（3）應用動能定理求出棒的初速度．

解答 解：（1）棒在GH處速度為v₁，感應電動勢為：E=Blv₁，
感應電流為：I₁=$\frac{Bl{v}_{1}}{R}$，
安培力為：F_A=BIl=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{1}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F_A=16N；          
（2）設棒移動距離a，由幾何關(guān)系，磁通量變化：
△Φ=B（$\frac{π{r}^{2}}{4}$+4），
題設運動時回路中電流保持不變，即感應電動勢不變，有：E=Blv₂
因此：E=$\frac{△Φ}{△t}$=Blv₂，代入數(shù)據(jù)解得：△t=1.25s；
（3）設外力做功為W，克服安培力做功為W_A，
導體棒在由GH處向左移動2m處的速度為v₃′，
由動能定理：W-W_A=$\frac{1}{2}$（mv₃²′-mv₃²） 
克服安培力做功：W_A=I₃²R△t′，
其中：I₃=$\frac{Bl{v}_{3}}{R}$，△t′=$\frac{\frac{π{r}^{2}}{4}+4}{l{v}_{3}}$，
聯(lián)立解得：W_A=$\frac{（\frac{π{r}^{2}}{4}+4）{B}^{2}l{v}_{3}}{R}$，
由于電流始終不變，有：v₃′=$\sqrt{2}$v₃，
代入數(shù)值得：v₃²+$\frac{20\sqrt{2}}{3}$v₃-7=0，
解得：v₃=$\frac{\sqrt{980}}{6}$-$\frac{10\sqrt{2}}{3}$≈0.23m/s；
答：（1）若初速度v₁=3m/s，棒在GH處所受的安培力大小F_A為16N；
（2）若初速度v₂=$\sqrt{2}$m/s，棒向左移動距離2m所需時間△t為1.25s；
（3）若在棒由GH處向左移動2m的過程中，外力做功W=5J，初速度v₃為0.23m/s．

點評 本題是電磁感應與力學相結(jié)合的題，難度較大，分析清楚導體棒的運動過程，應用E=BLv、法拉第電磁感應定律、歐姆定律、安培力公式、動能定理分析答題．