Question

20．欲劃船渡過寬100m的河，船相對河岸的速度v₁=5m/s，水流速度v₂=3m/s，
（1）若小船在最短時間過河，船頭應怎樣放置，且渡河的最短時間是多少？
（2）若小船渡河位移最短，船頭應怎樣放置？且渡河的時間是多少？
（3）若水流速度變?yōu)?m/s，而船速不變，則渡河的最短位移是多少？

Answer 1

分析 船航行時速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，當以靜水中的速度垂直河岸過河的時候渡河時間最短．由矢量合成的平行四邊形定則得知小船的合速度，小船實際以合速度做勻速直線運動，進而求得位移的大��；小船以最短距離過河時，則靜水中的速度斜著向上游，合速度垂直河岸．當靜水速小于水流速，合速度方向不可能垂直于河岸，即不可能垂直渡河，當合速度的方向與靜水速的方向垂直時，渡河位移最短．

解答 解：（1）當以靜水中的速度垂直河岸過河的時候渡河時間最短，則知：t_min=$\fracv9dl1r5{{v}_{c}}$=$\frac{100}{5}$s=20s 
（2）小船以最短距離過河時，則靜水中的速度斜著向上游，合速度垂直河岸，設與河岸的夾角為θ，
      則由矢量合成的平行四邊形法則解三角形得：cosθ=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{3}{5}$，
      這時船頭與河水速度夾角為θ=53°
那么船垂直河岸行駛的速度為v=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$m/s=4m/s；
所以渡河時間t=$\frac{100}{4}$s=25s；
（3）因為不能垂直渡河，所以當合速度的方向與靜水速的方向垂直，渡河位移最短，
設渡河的最小位移x，則有：$\frac91zjppb{x}=\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$，解得：x=120m．
答：（1）若小船在最短時間過河，船頭垂直過河，且渡河的最短時間是20s；
（2）若小船渡河位移最短，船頭偏向上游53°，且渡河的時間是25s；
（3）若水流速度變?yōu)?m/s，而船速不變，則渡河的最短位移是120m．

點評 小船過河問題屬于運動的合成問題，要明確分運動的等時性、獨立性，運用分解的思想，看過河時間只分析垂直河岸的速度，分析過河位移時，要分析合速度．