(2010?上海)如圖,三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為m1、m2、M(M?m1,M?m2),在c的萬有引力作用下,a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑之比為ra:rb=1:4,則它們的周期之比Ta:Tb=
1:8
1:8
,從圖示位置開始,在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中,a、b、c共線有
14
14
次.
分析:質(zhì)點(diǎn)a、b均在c點(diǎn)的萬有引力的作用下繞c做圓周運(yùn)動(dòng),由F=F,可求出周期比,每多轉(zhuǎn)半圈,三質(zhì)點(diǎn)共線一次,可先求出多轉(zhuǎn)半圈的時(shí)間,與總時(shí)間相比,得出三點(diǎn)共線次數(shù).
解答:解:萬有引力提供向心力,則有:G
Mm1
r
2
b
=m1ra
4π2
T
2
a
,G
Mm2
r
2
b
=m2rb
4π2
T
2
b
;
所以Ta:Tb=1:8;
設(shè)每隔時(shí)間t,a、b共線一次,則(ωab)t=π,所以t=
π
ωa-ωb
;
故b運(yùn)動(dòng)一周的過程中,a、b、c共線的次數(shù)為:n=
Tb
t
=
Tb(ωa-ωb
π
=Tb(
2
Ta
-
2
TB
) =
2Tb
Ta
-2=14

故答案為:1:8,14.
點(diǎn)評:本題根據(jù)向心力來源列式,即可求出周期之比;第二問中,可以以質(zhì)點(diǎn)b、c系統(tǒng)為參考系,則a質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)7圈,共線14次.
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收縮
收縮
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