Question

如圖所示，金屬桿a在離地h高處從靜止開(kāi)始沿弧形軌道下滑，導(dǎo)軌平行的水平部分有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，水平部分導(dǎo)軌上原來(lái)放有一長(zhǎng)L的金屬桿b．已知桿的質(zhì)量為m_a，且與b桿的質(zhì)量比為m_a：m_b=3：4，水平導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，不計(jì)摩擦．求：
（1）若a、b電阻分別為R_a、R_b，則b的最大加速度為多大？
（2）a和b的最終速度分別是多大？
（3）整個(gè)過(guò)程中回路中釋放的電能是多少？
（4）若已知a、b桿的電阻之比R_a：R_b=3：4，其余電阻不計(jì)．整個(gè)過(guò)程中a、b上產(chǎn)生的熱量分別是多少？

Answer 1

分析：a下滑，以一定速度進(jìn)入水平軌道（磁場(chǎng)區(qū)），產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．a(chǎn)與b組成閉合回路，且產(chǎn)生感應(yīng)電流．根據(jù)左手定則判斷a、b受的安培力方向可知a做減速運(yùn)動(dòng)，b做加速運(yùn)動(dòng)．剛開(kāi)始時(shí)b受的安培力最大，加速度最大．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，a、b達(dá)到相同速度，之后回路中磁通量不發(fā)生變化，感應(yīng)電流為零，不再受安培力．a(chǎn)、b勻速運(yùn)動(dòng)．回路中的電能從能量轉(zhuǎn)化角度分析，克服安培力做功過(guò)程中將a的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為a、b的動(dòng)能和a、b回路中的電能．

解答：解：（1）a下滑h高的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒：m_agh=

1

2

m_av_a²，
               v_a=

2gh

當(dāng)a以v_a速度進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv_a=BL

2gh

回路中感應(yīng)電流為：I=

E

Ra+Rb

所以b受到的安培力F=BIL，b的最大加速度為：a_max=

F

mb

=

B2l2 2gh

(Ra+Rb)mb

（2）a、b達(dá)共同的速度過(guò)程中，a、b系統(tǒng)所受合外力為零．由動(dòng)量守恒得：m_av_a=（m_a+m_b）v；
a、b最終速度：v=

3

7

             v_a=

3

7

2gh

（3）再由能量守恒知，回路中產(chǎn)生的電能：E=m_agh-

1

2

（m_a+m_b）v²=

4

7

m_agh
（4）回路中產(chǎn)生的熱量Q_a+Q_b=E，在回路中產(chǎn)生電能的過(guò)程中，雖然電流不恒定，但R_a與R_b串聯(lián)，通過(guò)a、b的電流總是相等的，所以有：

Qa

Qb

=

Ra

Rb

=

3

4

Qa

Qa+Qb

=

3

7

Qa=

3E

7

=

12

49

magh   
Q_b=magh-

1

2

(ma+mb)v2=

4

7

E=

16

49

magh  
答：（1）若a、b電阻分別為R_a、R_b，則b的最大加速度為：a_max=

F

mb

=

B2l2 2gh

(Ra+Rb)mb

；
（2）a和b的最終速度分別是：v=

3

7

與 v_a=

3

7

2gh

；
（3）整個(gè)過(guò)程中回路中釋放的電能是

4

7

m_agh；
（4）若已知a、b桿的電阻之比R_a：R_b=3：4，其余電阻不計(jì)．整個(gè)過(guò)程中a、b上產(chǎn)生的熱量分別是

12

49

magh，

16

49

magh．

點(diǎn)評(píng)：考查機(jī)械能守恒定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、能量守恒定律與動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，注意守恒條件及矢量性．