Question

如圖所示，在真空中半徑r=3.0×10^-2m的圓形區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，方向如圖的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一束帶正電的粒子以初速度v₀=1.0×10⁶m/s，從磁場(chǎng)邊界上直徑ab的a端沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，且初速方向都垂直于磁場(chǎng)方向，若該束粒子的比荷

q

m

=1.0×108C/kg，不計(jì)粒子重力．求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．
（2）若射入磁場(chǎng)的速度改為v=3.0×10⁵m/s，其他條件不變，求磁場(chǎng)邊界上有粒子擊中的弧長(zhǎng)．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析：①首先做出軌跡圖，利用幾何關(guān)系判斷出當(dāng)弦長(zhǎng)為多少時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，從而可以計(jì)算出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的最長(zhǎng)時(shí)間．
②由確定的速度先求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑，利用幾何關(guān)系判斷出粒子射出磁場(chǎng)的區(qū)域，從而計(jì)算粒子射出區(qū)域弧長(zhǎng)．

解答：解：
①、由洛倫茲力提供向心力得：

mv02

R

=Bqv0
解得：R=

mv0

Bq

=0.05m＞r
故以ab為弦長(zhǎng)的圓弧對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)．
由圖可知：
sinθ=

r

R

=

3

5

∴θ=37°
∴t=

2θ

360°

×

2πm

Bq

=6.45×10-8s
②、若速率v=3.0×10⁵m/s．則
R′=

mv

Bq

=0.015m，
由圖可知有粒子可擊中的邊界弧長(zhǎng)為

ac

，由幾何關(guān)系可知弧長(zhǎng)為

ac

所對(duì)應(yīng)的圓心角為60°

ac

=

60

360

×2πr=3.14×10-2m
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為6.45×10^-8s．
（2）磁場(chǎng)邊界上有粒子擊中的弧長(zhǎng)為3.14×10^-2m．

點(diǎn)評(píng)：解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先確定圓心的位置，找出半徑，做好草圖，利用數(shù)學(xué)幾何并結(jié)合運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行求解．
（1）圓心的確定：因洛倫茲力始終指向圓心，根據(jù)洛倫茲力的方向與速度的方向垂直，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中的任意兩點(diǎn)（一般是射入和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)）的洛倫茲力的方向，其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為圓心．
（2）半徑的確定和計(jì)算，半徑的計(jì)算一般是利用幾何知識(shí)，常用解三角形的方法．
（3）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定，由求出t，t=

θ

2π

T（θ為弧度）或t=

θ

360°

T（θ為度數(shù)）；應(yīng)注意速度矢量轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ，就是圓半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度，以及弦切角與圓心角的關(guān)系．