Question

2．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的，由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對他們的引力作用．現(xiàn)已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)行．設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，引力常量為G．
（1）試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度大小和周期；
（2）假設(shè)兩種形式下星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）運(yùn)行的任一衛(wèi)星受到中心星體和另一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的星體的萬有引力作用，合力充當(dāng)向心力，列式求解即可；
（2）對其中一個(gè)星體受力分析，根據(jù)平行四邊形定則求出合力，有合力充當(dāng)向心力列式即可．

解答 解：（1）第一種形式下，三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；其中邊上的一顆星受中央星和另一顆邊上星的萬有引力提供向心力：$G\frac{m^2}{R^2}+G\frac{m^2}{{{{（2R）}^2}}}=m\frac{v^2}{R}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，
故周期：T=$\frac{2πR}{v}=4πR\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$
（2）另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
$2G\frac{m^2}{L^2}cos{30^0}=m{（{\frac{2π}{T}}）^2}\frac{L}{{2cos{{30}^0}}}$，
聯(lián)立解得：$L=\root{3}{{\frac{{12{R^3}}}{5}}}$．
答：（1）第一種形式下線速度大小為$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，周期為$4πR\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$；
（2）第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為$\root{3}{\frac{12{R}^{3}}{5}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了萬有引力定律的應(yīng)用，萬有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點(diǎn)，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析．