Question

10．有個(gè)演示實(shí)驗(yàn)，在上、下兩面都是金屬板的玻璃盒內(nèi)，放了許多錫箔紙揉成的小球，當(dāng)上下板間加上電壓后，小球就上下不停地跳動(dòng)．現(xiàn)取以下簡(jiǎn)化模型進(jìn)行定量研究．如圖所示，電容量為C的平行板電容器的極板A和B水平放置，相距為d，與電動(dòng)勢(shì)為e、內(nèi)阻可不計(jì)的電源相連．設(shè)兩板之間只有一個(gè)質(zhì)量為m的導(dǎo)電小球，小球可視為質(zhì)點(diǎn)．已知：若小球與極板發(fā)生碰撞，則碰撞后小球的速度立即變?yōu)榱悖瑤щ姞顟B(tài)也立即改變，改變后，小球所帶電荷符號(hào)與該極板相同，電量為極板電量的α倍（α＜＜1）．不計(jì)帶電小球?qū)�極板間勻強(qiáng)電場(chǎng)的影響．重力加速度為g．
（1）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運(yùn)動(dòng)，電動(dòng)勢(shì)e至少應(yīng)大于多少．
（2）設(shè)上述條件已滿足，在較長(zhǎng)的時(shí)間間隔丁內(nèi)小球做了很多次往返運(yùn)動(dòng)．求：
a．小球做一次往返運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間；
b．在T時(shí)間內(nèi)通過(guò)電源的總電量．

Answer 1

分析 這是一道高考原題，玻璃球與與電源相連的金屬板相碰后帶上同種電，由于互相排斥而離開分別做勻變速運(yùn)動(dòng)．由于與上、下板碰撞后帶電的電性不一樣，則小球受到的電場(chǎng)力不相同，加速度也不同．
（1）要使小球能往返運(yùn)動(dòng)，則向上的電場(chǎng)力應(yīng)大于重力，寫出相應(yīng)的關(guān)系式，代入就可求得電動(dòng)勢(shì)的最小值．
（2）先據(jù)牛頓第二定律求出向上和向下的加速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出向上和向下的時(shí)間．則上下往返的次數(shù)也就求出來(lái)了，由于每次往返獲得的電量為2q，則時(shí)間T
內(nèi)通過(guò)電源的總量也能求出．

解答 解：（1）用Q表示極板電荷量的大小，q表示碰后小球電荷量的大小．要使小球能不停地往返運(yùn)動(dòng)，小球所受的向上的電場(chǎng)力至少應(yīng)大于重力，則：
$\frac{eq}3391d37＞mg$…①
其中q=αQ…②
Q=Ce…③
聯(lián)立得：$e＞\sqrt{\frac{mgd}{αC}}$  
（2）當(dāng)小球帶正電時(shí)，小球所受電場(chǎng)力與重力方向相同，向下做加速運(yùn)動(dòng)．以a₁表示其加速度，t₁表示從A板到B板所用的時(shí)間，則有：
$\frac{eq}ntxrndr+mg=m{a}_{1}$…④
$d=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$…⑤
當(dāng)小球帶負(fù)電時(shí)，小球所受電場(chǎng)力與重力方向相反，向上做加速運(yùn)動(dòng)，以a₂表示其加速度，t₂表示從B板到A板所用的時(shí)間，則有：
$\frac{eq}tjfbzfb-mg=m{a}_{2}$…⑥
$d=\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$…⑦
小球往返一次共用時(shí)間為：（t₁+t₂）=$\sqrt{\frac{2ml175dpn^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2m3tb7lj3^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}$
故小球在T時(shí)間內(nèi)往返的次數(shù)：$n=\frac{T}{{t}_{1}+{t}_{2}}$…⑧
由以上關(guān)系式得到：$n=\frac{T}{\sqrt{\frac{2mxd57h7h^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2mntnvxfr^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}}$．
小球往返一次通過(guò)的電量為2q，在T時(shí)間內(nèi)通過(guò)電源的總電量Q'=2qn．由以上兩式可得：Q′=$\frac{2αCeT}{\sqrt{\frac{2mthl5zzj^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2mh1j1vbr^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}}$．
答：（1）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運(yùn)動(dòng)，電動(dòng)勢(shì)e至少應(yīng)大于$\sqrt{\frac{mgd}{αC}}$．
（2）a．小球做一次往返運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間=$\sqrt{\frac{2mhdlz1t3^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2mtfp37hh^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}$．b．在T時(shí)間內(nèi)通過(guò)電源的總電量為$\frac{2αCeT}{\sqrt{\frac{2mb5nhp3j^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2mj9nptpb^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}}$．

點(diǎn)評(píng) 值得注意的是小球每發(fā)生一次碰撞，則速度立即變?yōu)榱�，電量也相�?yīng)變成電性相反的等量電荷，然后做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．這還是屬于牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用問(wèn)題，只不過(guò)碰撞后初狀態(tài)和受力發(fā)生變化罷了．