Question

14．如圖所示，AB為粗糙水平面，長度AB=5R，其右端與光滑的半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧BC平滑相接，C點的切線沿豎直方向，在C點的正上方有一離C點高度也為R的旋轉平臺，沿平臺直徑方向開有兩具離心軸心距離相等的小孔P、Q，旋轉時兩孔均能達到C點的正上方，某時刻，質量為m可看作質點的滑塊，與水平地面間的動摩擦因數μ=0，1，當它以v₀=3$\sqrt{gR}$的速度由A點開始向B點滑行時：
（1）求滑塊通過C點的速度．
（2）若滑塊滑過C點后能通過P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺轉動的角速度ω應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）利用動能定理即可求的到達C點的速度
（2）滑塊穿過P孔做豎直上拋運動，由題意，滑塊滑過C點后正好穿過P孔，又恰能從Q孔落下，故應在滑塊下落的時間內，平臺轉動半周的奇數倍．根據滑塊上拋的時間，求出平臺轉動的周期，即可求出角速度．

解答 解：由A到C由動能定理可得：
$-μmg•5R-mgR=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{6gR}$
滑塊到達P處時速度為v_P，則有：
$-μmg•5R-mg•2R=\frac{1}{2}{mv}_{P}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
滑塊穿過P空再回到P的時間為：$t=\frac{2{v}_{P}}{g}$
要使小球從Q點穿過，則滿足：$ωt=（2n+1）π\(zhòng)\;\\;\\;n=0，1，2…$
聯立解得：$ω=\frac{π（2n+1）}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}$（n=0，1，2…）
答（1）求滑塊通過C點的速度為$\sqrt{6gR}$．
（2）若滑塊滑過C點后能通過P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺轉動的角速度ω應滿足$\frac{π（2n+1）}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}$，n=1，2，3…

點評 本題考查機械能守恒定律及動能定理的應用，在解題時要注意靈活選擇運動過程，對不同的過程應用合適的物理規(guī)律；同時注意最后一問中的多解性．