Question

20．如圖為宇宙中一恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O運行軌道近似為圓，天文學家觀測得到A行星運動的軌道半徑為r，周期為T．長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實際運動的軌道與圓軌道總有一些偏離，且周期每隔t時間發(fā)生一次最大偏離，天文學家認為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側還存在著一顆未知的行星B（假設其運動軌道與A在同一平面內，且與A的繞行方向相同），它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離，由此可推測未知行星B的運動軌道半徑為（　　）

• A． $\frac{t}{t-T}$r
• B． r（$\frac{t}{t-T}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$
• C． r（$\frac{t}{t-T}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$
• D． r（$\frac{t-T}{T}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$

Answer 1

分析 A行星實際運動的軌道與圓軌道總有一些偏離，且周期每隔t時間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t時間A、B兩行星相距最近，可以求出B的周期，再根據(jù)萬有引力提供向心力，得出軌道半徑．

解答 解：周期每隔t時間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t時間A、B兩行星相距最近，即每隔t時間A行星比B行星多運行一圈．有：
$\frac{2π}{T}t-\frac{2π}{{T}_{B}}t=2π$，
則${T}_{B}=\frac{tT}{t-T}$，
根據(jù)萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
所以$\frac{{r}_{B}}{r}=\root{3}{\frac{{{T}_{B}}^{2}}{{T}^{2}}}$，
則r_B=$r\root{3}{（\frac{t}{t-T}）^{2}}$，故B正確，A、C、D錯誤．
故選：B．

點評 解決本題的關鍵知道每隔t時間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t時間A、B兩行星相距最近，而得出每隔t時間A行星比B行星多運行一圈．以及會利用萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$進行求解．