Question

20．如圖所示，在x軸的上方存在垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．位于x軸的下方離子源C發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的一束負(fù)離子，其初速度大小范圍0～$\sqrt{3}{v}_{0}$，這束離子經(jīng)電勢(shì)差U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$的電場(chǎng)加速后，從小孔O（坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直x軸并垂直磁場(chǎng)射入磁場(chǎng)區(qū)域，最后打到x軸上．在x軸上2a～3a區(qū)間水平固定放置一探測(cè)板（a=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$），假設(shè)每秒射入磁場(chǎng)的離子總數(shù)為N₀，打到x軸上的離子數(shù)均勻分布（離子重力不計(jì)）．
（1）求離子束從小孔O射入磁場(chǎng)后打到x軸的區(qū)間；
（2）調(diào)整磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，可使速度最大的離子恰好打在探測(cè)板右端，求此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁；
（3）保持磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁不變，求每秒打在探測(cè)板上的離子數(shù)N；若打在板上的離子80%被吸收，20%被反向彈回，彈回速度大小為打板前速度大小的0.6倍，求探測(cè)板受到的作用力大�。�

Answer 1

分析 初速度不同的粒子被同一加速電場(chǎng)加速后，進(jìn)入磁場(chǎng)的速度也不同，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同，轉(zhuǎn)半圈后打在x軸上的位置不同．
（1）分別求出最大和最小速度，從而求出最大半徑和最小半徑，也就知道打在x軸上的區(qū)間．
（2）打在探測(cè)板最右端的粒子其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為1.5a，由半徑公式也就能求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）取時(shí)間t=1s，分兩部分據(jù)動(dòng)量定理求作用力．兩者之和就是探測(cè)板受到的作用力．

解答 解：（1）在加速電場(chǎng)中加速時(shí)據(jù)動(dòng)能定理：$Uq=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
   將$U=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$和v₁=0 和${v}_{1}=\sqrt{3}{v}_{0}$分別代入上式，得到離子進(jìn)入磁場(chǎng)的最小和最大速度：v_min=v₀、v_max=2v₀
   在磁場(chǎng)中洛侖茲力提供向心力：$q{B}_{0}{v}_{2}=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{r}$，所以半徑$r=\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{0}}$  
   將最小速度和最大速度分別代入并跟$a=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$  進(jìn)行對(duì)比得到最小半徑和最大半徑：r_min=a     r_max=2a
   所以打在x軸上的區(qū)間為2a--4a．
（2）當(dāng)最大速度的粒子打在探測(cè)板的最右端時(shí)，其半徑r₁=1.5a，由上述公式得到此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度${B}_{1}=\frac{m{v}_{max}}{q{r}_{1}}=\frac{4}{3}{B}_{0}$．
（3）若保持磁感應(yīng)強(qiáng)度${B}_{1}=\frac{4}{3}{B}_{0}$  不變，將最小速度和最大速度代入半徑公式$r=\frac{mv}{qB}$，得到此種情況下的最小半徑和最大半徑：
       ${r}_{min}′=\frac{3}{4}a$      ${r}_{max}′=\frac{3}{2}a$
     則打在x軸上的區(qū)間為1.5a--3a，所以打在探測(cè)板上的粒子占總粒子數(shù)$N=\frac{3a-2a}{3a-1.5a}{N}_{0}$=$\frac{2}{3}{N}_{0}$．
   取時(shí)間t=1s，有N個(gè)粒子打在探測(cè)板上，其中80%被吸收速度變?yōu)榱�，�?duì)這些粒子探測(cè)板對(duì)它們的沖量使其動(dòng)量變?yōu)榱悖�由�?dòng)量定理：
     $-{F}_{1}t=0-80%Nm\overline{v}$   將$\overline{v}=1.5{v}_{0}$及N=$\frac{2}{3}{N}_{0}$、t=1s代入得：F₁=0.8N₀mv₀．
   同理：對(duì)20%被反向彈回的粒子由動(dòng)量定理：
    $-{F}_{2}t=20%Nm（-0.6\overline{v}）-20%Nm\overline{v}$  將$\overline{v}=1.5{v}_{0}$及N=$\frac{2}{3}{N}_{0}$、t=1s代入得：F₂=0.32N₀mv₀．
   所以據(jù)牛頓第三定律探測(cè)板受到粒子的沖擊力F′=F₁+F₂=$\frac{56}{45}$N₀mv₀．
答：（1）離子束從小孔O射入磁場(chǎng)后打到x軸的區(qū)間為2a--4a．
（2）調(diào)整磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，可使速度最大的離子恰好打在探測(cè)板右端，此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{4}{3}{B}_{0}$．
（3）保持磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁不變，求每秒打在探測(cè)板上的離子數(shù)N為$\frac{2}{3}{N}_{0}$；若打在板上的離子80%被吸收，20%被反向彈回，彈回速度大小為打板前速度大小的0.6倍，探測(cè)板受到粒子的沖擊力為$\frac{56}{45}$N₀mv₀．

點(diǎn)評(píng) 此題的關(guān)鍵點(diǎn)在于求打在探測(cè)板上的粒子數(shù)，進(jìn)入磁場(chǎng)的所有粒子由于速度不同，打在x軸上的位置不同，由打在探測(cè)板區(qū)間范圍與打在x軸上的區(qū)間范圍的比例，求出打在探測(cè)板上的粒子數(shù)；至于求粒子對(duì)探測(cè)板的沖擊力，取1s鐘先求出打在探測(cè)板上所有粒子動(dòng)量的變化，據(jù)動(dòng)量定理，這些動(dòng)量的變化是由于受到探測(cè)板沖量的緣故，從而求出對(duì)探測(cè)板的沖擊力．