Question

17．在溫州市科技館中，有個(gè)用來(lái)模擬天體運(yùn)動(dòng)的裝置，其內(nèi)部是一個(gè)類(lèi)似錐形的漏斗容器，如圖甲所示．現(xiàn)在該裝置的上方固定一個(gè)半徑為R的四分之一光滑管道AB，光滑管道下端剛好貼著錐形漏斗容器的邊緣，如圖乙所示，將一個(gè)質(zhì)量為m的小球從管道的A點(diǎn)靜止釋放，小球從管道B點(diǎn)射出后剛好貼著錐形容器壁運(yùn)動(dòng)，由于摩擦阻力的作用，運(yùn)動(dòng)的高度越來(lái)越低，最后從容器底部的孔C掉下（軌跡大致如圖乙虛線所），已知小球離開(kāi)C孔的速度為v，A到C的高度為H．求：

（1）小球達(dá)到B端的速度大�。�
（2）小球在管口B端受到的支持力大�。�
（3）小球在錐形漏斗表面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中克服摩擦阻力所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，軌道對(duì)小球不做功，只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求小球達(dá)到B端的速度大�。�
（2）小球在B端，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求小球在管口B端受到的支持力大小．
（3）對(duì)整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求克服摩擦阻力所做的功．

解答 解：（1）小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
可得：v_B=$\sqrt{2gR}$
（2）設(shè)小球在管口B端受到的支持力為F．由牛頓第二定律得 F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F=3mg
（3）設(shè)克服摩擦力做功為W，對(duì)整個(gè)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgH-W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：W=mgH-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
答：（1）小球達(dá)到B端的速度大小是$\sqrt{2gR}$：
（2）小球在管口B端受到的支持力大小是3mg：
（3）小球在錐形漏斗表面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中克服摩擦阻力所做的功是mgH-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及力在空間的效果時(shí)，要考慮動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律．在某個(gè)點(diǎn)研究力，要考慮牛頓第二定律．抓住機(jī)械能守恒定律和向心力的聯(lián)系的紐帶是速度．