Question

20．有一質(zhì)量很大而體積很小的星球，一個物體從離這個星球距離為r的高度從靜止出發(fā)自由落向此星球，則物體落到這個星球上經(jīng)歷的時間為$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{π}^{2}{r}^{3}}{2GM}}$（已知星球的質(zhì)量為M）

Answer 1

分析 星球很小，可以看作質(zhì)點，物體僅受星球引力作用下的運動軌道通常有三種可能的情況：（1）沿直線自由下落．（2）圓軌道．（3）橢圓軌道．物體在橢圓軌道上運動時，星球處于橢圓的一個焦點上，物體的運動規(guī)律滿足開普勒第三定律：$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$，其中T為物體的公轉(zhuǎn)周期，R為半長軸，M是星球的質(zhì)量．我們設(shè)想一個狹長的橢圓軌道，遠地點即為物體開始下落的位置，此橢圓越扁，其兩側(cè)就越向物體自由下落的軌道靠攏，極端的情況是：當(dāng)橢圓的半短軸b=0時，兩者就重合了．這樣，就可能通過求物體沿上述橢圓軌道對應(yīng)部分的時間來求物體自由下落的時間．

解答 解：將星球看成質(zhì)點，設(shè)物體下落的時間為t．則物體繞星球公轉(zhuǎn)的周期為2t，橢圓半長軸為$\frac{r}{2}$，由開普勒第三定律$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$，得：
$\frac{（2t）^{2}}{（\frac{r}{2}）^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$
解得：t=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{π}^{2}{r}^{3}}{2GM}}$
故答案為：$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{π}^{2}{r}^{3}}{2GM}}$．

點評 本題中物體的加速度不恒定，直接根據(jù)運動學(xué)規(guī)律不好解，關(guān)鍵要運用極限法，建立物體運動的模型：橢圓運動，星球是橢圓的焦點，運用開普勒第三定律$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$求解．