Question

3．如圖所示，有一平行板電容器左邊緣在，軸上，下極板與x軸重臺，極板間勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)為E．一電量為q、質(zhì)量為m的帶電粒子，從O點(diǎn)與x軸成 角斜向上射入極板間，粒子經(jīng)過K板邊緣a點(diǎn)平行于x軸飛出電容器，立即進(jìn)入一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形磁場（未畫出），隨后從c點(diǎn)垂直穿過x軸離開磁場．已知粒子在O點(diǎn)的初速度大小為v=$\sqrt{3}$$\frac{E}{B}$，∠aco=45°cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，磁場方向垂直于坐標(biāo)平面向外，磁場與電容器不重臺，帶電粒子重力不計(jì)，試求：
（1）K極板所帶電荷的電性；
（2）粒子經(jīng)過c點(diǎn)時的速度大小；
（3）圓形磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)左手定則和運(yùn)動軌跡即可判斷
（2）帶電粒子在電容器中做勻變速曲線運(yùn)動，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫出運(yùn)動軌跡，把速度分解到沿x軸方向和沿y軸方向，根據(jù)幾何關(guān)系求出到達(dá)a點(diǎn)的速度；
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出圓周運(yùn)動的半徑，再根據(jù)幾何關(guān)系求出ac的長度，ac即為圓形磁場的最小直徑，根據(jù)圓的面積公式求出最小面積；

解答 解：（1）在磁場中，由左手定則可知粒子帶正電，由粒子在電容器間運(yùn)動時，向L極板偏轉(zhuǎn)，所以K板帶正電
（2）帶電粒子在電容器中做勻變速曲線運(yùn)動，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，軌跡如圖所示：

粒子在x軸方向做勻速直線運(yùn)動，在y軸方向做勻減速直線運(yùn)動，經(jīng)過K板邊緣a點(diǎn)平行于x軸飛出電容器，
則粒子在x軸上的分量為v_a=vcosθ=$\sqrt{3}$$\frac{E}{B}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{E}{B}$，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，則到達(dá)c點(diǎn)時速度大小為${v}_{C}=\frac{E}{B}$，
（2）粒子從c點(diǎn)垂直穿過x軸離開磁場，又已知∠acO=45°，所以粒子在磁場中運(yùn)動軌跡為$\frac{1}{4}$圓弧，
則圓形磁場直徑最小為ac的長度，根據(jù)幾何關(guān)系得：
ac=$\sqrt{2}$
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，則有：
Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{m{v}_{C}}{qB}$=$\frac{mE}{{B}^{2}q}$
所以ac=$\frac{\sqrt{2}mE}{{B}^{2}q}$，
則圓形磁場區(qū)域的最小面積S=${（\frac{ac}{2}）}^{2}π=\frac{{m}^{2}{E}^{2}π}{2{B}^{4}{q}^{2}}$
答：（1）K極板所帶電荷的電性為正電；
（2）粒子經(jīng)過c點(diǎn)時的速度大小為$\frac{E}{B}$；
（3）圓形磁場區(qū)域的最小面積為$\frac{{m}^{2}{E}^{2}π}{2{B}^{4}{q}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題是一道力學(xué)綜合題，考查了粒子在電場、磁場中的運(yùn)動，分析清楚粒子運(yùn)動過程是正確解題的關(guān)鍵，