Question

如圖所示，皮帶傳動(dòng)裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R= m，兩輪軸心相距L=3．75m，A、B分別使傳送帶與兩輪的切點(diǎn)，輪緣與傳送帶之間不打滑。一個(gè)質(zhì)量為0．1kg的小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ= 。g取10m/s²。

（1）當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向以v₁=3m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將小物塊無初速地放在A點(diǎn)后，它運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)約需多長時(shí)間？
（2）小物塊相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)在傳送帶上留下痕跡。當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小物塊無初速地放在A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)飛出。要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₂至少多大？

Answer 1

解答： （1）當(dāng)小物塊速度小于3m/s時(shí)，小物塊受到豎直向下、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a₁，根據(jù)牛頓第二定律
    mgsin30° + μmgcos30°=ma₁        ①
解得 a₁ = 7．5m/s²
當(dāng)小物塊速度等于3m/s時(shí)，設(shè)小物塊對(duì)地位移為L₁，用時(shí)為t₁，根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律
    t₁ =            ②
    L₁ =           ③
解得 t₁ = 0．4s  L₁ = 0．6m
由于L₁＜L且μ＜tan30°，當(dāng)小物塊速度大于3m/s時(shí)，小物塊將繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，設(shè)加速度為a₂，用時(shí)為t₂，根據(jù)牛頓第二定律和勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律
    mgsin30°－μmgcos30°=ma₂         ④
解得 a₂ = 2．5m/s²
    L－L₁ = v₁t₂ + a₂t₂²                 ⑤
解得 t₂ = 0．8s
故小物塊由禁止出發(fā)從A到B所用時(shí)間為 t = t₁ + t₂ = 1．2s
（2）作v—t圖分析知：傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度越大，小物塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)用時(shí)越短，當(dāng)傳送帶速度等于某一值v′ 時(shí)，小物塊將從A點(diǎn)一直以加速度a₁做勻加速直線運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，所用時(shí)間最短，即
    L = a₁t_min²       ⑥
解得t_min= 1s
    v′ =a₁t_min =7．5m/s
此時(shí)小物塊和傳送帶之間的相對(duì)路程為 △S = v′ t－L = 3．75m
傳送帶的速度繼續(xù)增大，小物塊從A到B的時(shí)間保持不變，而小物塊和傳送帶之間的相對(duì)路程繼續(xù)增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續(xù)增大；當(dāng)痕跡長度等于傳送帶周長時(shí)，痕跡為最長S_max，設(shè)此時(shí)傳送帶速度為v₂，則
    S_max = 2L + 2πR  ⑦
    S_max = v₂t－L     ⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧解得 v₂ = 12．25m/s

解析