Question

13．如圖，一輕彈簧原長為2R，其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)．斜面長AC=7R，C為斜面的最高點．質(zhì)量為m的小物塊P自C點由靜止開始下滑，最低到達E點（未畫出）隨后P沿軌道被彈回，最高到達F點，AF=4R．已知P與直軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.25，重力加速度大小為g．
（1）求小物體P下滑過程的加速度大小．
（2）求P從C點第一次運動到B點所用的時間．
（3）求P運動到E點時彈簧的彈性勢能．
（4）改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點，從靜止開始釋放．恰好能夠沿斜面到達C點．求改變后P的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求小物體P下滑過程的加速度大�。�
（2）根據(jù)速度位移關(guān)系公式求出物體運動到B的速度，再由速度公式求P從C點第一次運動到B點所用的時間．
（3）P從C點出發(fā)，最終靜止在F，分析整段過程，運用能量守恒定律求P運動到E點時彈簧的彈性勢能．
（4）從B恰好運動到C，彈性勢能轉(zhuǎn)化為重力勢能的增加量和內(nèi)能的增加量，運用能量守恒定律求改變后P的質(zhì)量．

解答 解：（1）選P為研究對象，受力分析如圖：
設(shè)P的加速度為a，其垂直于斜面方向受力平衡：Gcosθ=N
沿斜面方向，由牛頓第二定律得：Gsinθ-f=ma
且f=μN
可得：a=gsinθ-μgcosθ=$\frac{2}{5}$g
（2）對CB段過程，由${v}_{B}^{2}$=2axCB，
代入數(shù)據(jù)得B點速度：v_B=2$\sqrt{gR}$
根據(jù)運動學(xué)公式：v_B=at
得 t=5$\sqrt{\frac{R}{g}}$
（3）P從C點出發(fā)，最終靜止在F，分析整段過程；
由C到F，重力勢能變化量：△E_P=-mg•3Rsinθ
減少的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．設(shè)E點離B點的距離為xR，從C到F，產(chǎn)熱為：Q=μmgcosθ（7R+2xR）
由Q=|△E_P|，聯(lián)立解得：x=1；
研究P從C點運動到E點過程重力做功：W_G=mgsinθ（5R+xR）
摩擦力做功：W_f=-μmgcosθ（5R+xR）
動能變化量：△E_k=0
由動能定理：W_G+W_f+W_彈=△E_k
代入得：W_彈=-$\frac{12mgR}{5}$
由△E_彈=-W_彈，
得E點時彈性勢能 E_彈=$\frac{12mgR}{5}$．
（3）從B恰好運動到C，彈性勢能轉(zhuǎn)化為重力勢能的增加量和內(nèi)能的增加量，設(shè)改變后的物體的質(zhì)量為m′．
   $\frac{12mgR}{5}$=μm′gcosθ•6R+mg•6Rsinθ
解得：m′=0.5m
答：（1）小物體P下滑過程的加速度大小是$\frac{2}{5}$g．
（2）P從C點第一次運動到B點所用的時間是5$\sqrt{\frac{R}{g}}$．
（3）P運動到E點時彈簧的彈性勢能是$\frac{12mgR}{5}$．
（4）改變后P的質(zhì)量是0.5m．

點評 解決本題的關(guān)鍵要理清物體的運動過程，分析清楚能量是如何轉(zhuǎn)化的，分段運用能量守恒定律研究．