Question

如圖所示，一塊長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量m的扁平均勻規(guī)則木板通過(guò)裝有傳送帶的光滑斜面輸送．斜面與傳送帶靠在一起連成一直線，與水平方向夾角θ，傳送帶以較大的恒定速率轉(zhuǎn)動(dòng)，傳送方向向上，木板與傳送帶之間動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)．已知木板放在斜面或者傳送帶上任意位置時(shí)，支持力均勻作用在木板底部．將木板靜止放在傳送帶和光滑斜面之間某一位置，位于傳送帶部位的長(zhǎng)度設(shè)為x，當(dāng)x=L/4時(shí)，木板能保持靜止．
（1）將木板靜止放在x=L/2的位置，則木板釋放瞬間加速度多大？
（2）設(shè)傳送帶與木板間產(chǎn)生的滑動(dòng)摩擦力為f，試在0≤x≤L范圍內(nèi)，畫出f-x圖象．（本小題僅根據(jù)圖象給分）
（3）木板從x=L/2的位置靜止釋放，始終在滑動(dòng)摩擦力的作用下，移動(dòng)到x=L的位置時(shí)，木板的速度多大？
（4）在（3）的過(guò)程中，木塊的機(jī)械能增加量設(shè)為△E，傳送帶消耗的電能設(shè)為W，不計(jì)電路中產(chǎn)生的電熱，比較△E和W的大小關(guān)系，用文字說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=

L

4

時(shí)，木板能保持靜止，由平衡條件求出此時(shí)木板所受的滑動(dòng)摩擦力．將木板靜止放在x=

1

2

L的位置時(shí)，摩擦力加倍，根據(jù)牛頓第二定律求出木板的加速度．
（2）根據(jù)滑動(dòng)摩擦力公式得出f與x的解析式，再畫出圖象．
（3）根據(jù)f-x圖象與坐標(biāo)所圍“面積”求出摩擦力做的功，根據(jù)動(dòng)能定理求出木板移動(dòng)到x=L的位置時(shí)的速度．
（4）根據(jù)功能關(guān)系分析△E和W的大小關(guān)系．

解答：解：（1）當(dāng)x=

L

4

，木板能保持靜止，則有f₁=mgsinθ，
x=

L

2

，摩擦力加倍，則f₂=2mgsinθ
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得a=

f2-mgsinθ

m

=gsinθ，方向沿斜面向上．
（2）設(shè)傳送帶與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則傳送帶與木板間產(chǎn)生的滑動(dòng)摩擦力為f=μN(yùn)=μmg

x

L

cosθ，由題，μ

1

4

mgcosθ=mgsinθ，則有f=4mgsinθ?

x

L

f與x成正比，f-x直線，畫出圖象如圖．
（3）利用（2）中圖象，可知木板從x=

1

2

L的位置移動(dòng)到x=L的位置時(shí)，摩擦力對(duì)木板做功：
W=

2mgsinθ+4mgsinθ

2

?

L

2

解得  W=

3

2

mgLsinθ
由動(dòng)能定理W-

1

2

mgLsinθ=

1

2

mv2
得v=

2gLsinθ

（4）△E小于W．因?yàn)閭魉蛶�與木板之間有滑動(dòng)摩擦，電能有一部分轉(zhuǎn)為了內(nèi)能．
答：
（1）將木板靜止放在x=L/2的位置，則木板釋放瞬間加速度為gsinθ，方向沿斜面向上．
（2）畫出f-x圖圖象如圖．
（3）木板從x=L/2的位置靜止釋放，始終在滑動(dòng)摩擦力的作用下，移動(dòng)到x=L的位置時(shí)，木板的速度

2gLsinθ

．
（4）△E小于W．因?yàn)閭魉蛶�與木板之間有滑動(dòng)摩擦，電能有一部分轉(zhuǎn)為了內(nèi)能．

點(diǎn)評(píng)：此題中木板對(duì)傳送帶的壓力是變化，滑動(dòng)摩擦力也是變化，得到摩擦力與位移的關(guān)系是本題關(guān)鍵．由于f與x成線性關(guān)系，也可使用“平均摩擦力”與“位移”的乘積計(jì)算摩擦力做功．